Question

【題目】如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，邊AB的垂直平分線交邊BC于點E，垂足為點D，取線段BE的中點F，聯結DF．求證：AC=DF．（說明：此題的證明過程需要批注理由）

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

先根據線段垂直平分線的性質得：AE=BE，再利用直角三角形斜邊中線的性質得：DF與BE的關系，最后根據直角三角形30度的性質得AC和AE的關系，從而得出結論．

連接AE，

∵DE是AB的垂直平分線（已知），

∴AE=BE，∠EDB=90°（線段垂直平分線的性質），

∴∠EAB=∠EBA=15°（等邊對等角），

∴∠AEC=30°（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和），

Rt△EDB中，∵F是BE的中點（已知），

∴DF=BE（直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半），

Rt△ACE中，∵∠AEC=30°（已知），

∴AC=AE（直角三角形30°角所對的直角邊是斜邊的一半），

∴AC=DF（等量代換）．