Question

【題目】如圖，二次函數 的圖像交 軸于 ，交 軸于點 ，連接直線 .

（1）求二次函數的解析式；
（2）點 在二次函數的圖像上，圓 與直線 相切，切點為 .
①若 在 軸的左側，且△ ∽△ ，求點 的坐標；
②若圓 的半徑為4，求點 的坐標.

Answer 1

【答案】
（1）解：∵將x=1，y=0，x=-2，y=0代入y=ax2+bx-2得 ，解得：

∴拋物線的解析式為y=x2+x-2

（2）解：解①∵圓P與直線AC相切，∴PH⊥AC．

（i）如圖1，當H在點C下方時，

①∵△CHP∽△AOC，

∴∠PCH=∠CAO．

∴CP∥x軸．

∴yP=-2．

∴x2+x-2=-2．解得x1=0（舍去），x2=-1，

∴P（-1，-2）．

（ii）如圖1，當H′在點C上方時．

∵∠P′CH′=∠CAO，

∴QA=QC，設OQ=m，則QC=QA=m+1，

在Rt△QOC中，由勾股定理，得m2+22=（m+1）2，

解得，m= ，即OQ= ；

設直線C P′的解析式為y=kx-2，把Q（- ，0）的坐標代入，得 k-2=0，解得k=- ，

∴y=- x-2，由- x-2=x2+x-2，解得x1=0（舍去），x2= ，此時y=- ×（- ）-2= ，

∴P′（- ， ）．

∴點P的坐標為（-1，-2）或（- ， ）②在x軸上取一點D，

如圖（2），過點D作DE⊥AC于點E，使DE=4．

在Rt△AOC中，AC= ，

∵∠COA=∠DEA=90°，∠OAC=∠EAD，

∴△AED∽△AOC．

∴ ，即 ，解得AD=2 ，

∴D（1-2 ，0）或D（1+2 ，0）．過點D作DP∥AC，交拋物線于P，設直線AC的解析式為y=kx+b．將點A、C的坐標代入拋物線的解析式得到：

解得：

∴直線AC的解析式為y=2x-2．

∴直線PD的解析式為y=2x+4 -2或y=2x-4 -2，當2x+4 -2=x2+x-2時，即x2-x-4 =0，解得x1= ，x2= ；

當2x-4 -2=x2+x-2時，即x2-x+4 =0，方程無實數根．

∴點P的坐標為（ ， ）或（ ，- ）．

【解析】（1）把A、B坐標代入求出a、b的值，得到二次函數的解析式；（2）由圓P與直線AC相切，當H在點C下方時，由△CHP∽△AOC，得到CP∥x軸，求出點P的坐標；當H′在點C上方時，根據勾股定理求出OQ的值，得到點P的坐標；由已知得到△AED∽△AOC，得到比例，求出AD的值，根據勾股定理求出AC的值，將點A、C的坐標代入拋物線的解析式，得到直線AC的解析式和直線PD的解析式，求出點P的坐標；此題是綜合題，難度較大，計算和解方程時需認真仔細.