Question

【題目】如圖，扇形OAB的半徑OA=3，圓心角∠AOB=90°，點C是弧AB上異于A、B的動點，過點C作CD⊥OA于點D，作CE⊥OB于點E，連結DE，點F在線段DE上，且EF=2DF，過點C的直線CG交OA的延長線于點G，且∠CGO=∠CDE．
（1）求證：CG與弧AB所在圓相切．
（2）當點C在弧AB上運動時，△CFD的三條邊是否存在長度不變的線段？若存在，求出該線段的長度；若不存在，說明理由．
（3）若∠CGD=60°，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖：

，

∵點C作CD⊥OA于點D，作CE⊥OB于點E，

∴∠CDO=∠CEO=90°，

∵∠DOE=90°，

∴ODCE是矩形，

∴∠CDE+∠EDO=90°，∠EDO=∠COD．

∵∠CGO=∠CDE，

∴∠CGO+COD=90°，

∴∠OCG=90°，

∵CG經過半徑OC的外端，

∴CG是⊙O的切線，即CG與弧AB所在圓相切

（2）解：DF不變．

在矩形ODCE中，∵DE=OC=3，EF=2DF，∴DF= DE= OC=1，

DF的長不變，DF=1

（3）解：∵∠CGD=60°，

∴∠COD=30°，

∴CD=OCsin∠COD= OC= ，OD=OCcos∠COD= OC= ，

圖中陰影部分的面積 ×π×32﹣ CDOD= ﹣

【解析】（1）根據矩形的判斷，可得OCDE的形狀，根據矩形的性質，可得∠CDE+∠EDO=90°，∠EDO=∠COD，根據余角的性質，可得∠CGO+COD=90°，根據切線的判定，可得答案；（2）根據矩形的性質，可得CD的長，根據EF與DF的關系，可得DF的長；（3）根據銳角三角函數，可得CD、OD的長，根據根據圖形割補法，可得陰影的面積．