Question

【題目】如圖，在線段AB上有一點C,在AB的同側作等腰△ACD和等腰△ECB,且AC=AD,EC=EB,∠DAC=∠CEB,直線BD與線段AE,線段CE分別交于點F,G.對于下列結論：①△DCG∽△BEG；②△ACE∽△DCB；③GF·GB=GC·GE；④若∠DAC=∠CEB=90°,則2AD2=DF·DG.其中正確的是（ ）

A.①②③④B.①②③C.①③④D.①②

Answer 1

【答案】A

【解析】

利用三角形的內角和定理及兩組角分別相等證明①正確；根據兩組邊成比例夾角相等判斷②正確；利用③的相似三角形證得∠AEC=∠DBC,又對頂角相等，證得③正確；根據△ACE∽△DCB證得F、E、B、C四點共圓，由此推出△DCF∽△DGC，列比例線段即可證得④正確.

①正確；在等腰△ACD和等腰△ECB中AC=AD,EC=EB,∠DAC=∠CEB,

∴∠ACD=∠ADC=∠BCE=∠BEC,

∴∠DCG=180-∠ACD-∠BCE=∠BEC,

∵∠DGC=∠BGE,

∴△DCG∽△BEG;

②正確；∵∠ACD+∠DCG=∠BCE+∠DCG,

∴∠ACE=∠DCB,

∵,

∴△ACE∽△DCB；

③正確；∵△ACE∽△DCB，

∴∠AEC=∠DBC,

∵∠FGE=∠CGB,

∴△FGE∽△CGB,

∴GF·GB=GC·GE；

④正確；如圖，連接CF,

由②可得△ACE∽△DCB，

∴∠AEC=∠DBC,

∴F、E、B、C四點共圓，

∴∠CFB=∠CEB=90，

∵∠ACD=∠ECB=45，

∴∠DCE=90，

∴△DCF∽△DGC

∴,

∴,

∵,

∴2AD2=DF·DG.

故選：A.