Question

【題目】如圖，已知矩形ABCD中，BC=2cm，AB=2cm，點E在邊AB上，點F在邊AD上，點E由A向B運動，連結EC、EF，在運動的過程中，始終保持EC⊥EF，△EFG為等邊三角形．

（1）求證△AEF∽△BCE；

（2）設BE的長為xcm，AF的長為ycm，求y與x的函數關系式，并寫出線段AF長的范圍；

（3）若點H是EG的中點，試說明A、E、H、F四點在同一個圓上，并求在點E由A到B運動過程中，點H移動的距離．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）,；(3)3.

【解析】

（1）由∠A=∠B=90°，∠AFE=∠BEC，得△AEF∽△BCE；（2）由（1）△AEF∽BCE得，，即，然后求函數最值；（3）連接FH，取EF的中點M，證MA=ME=MF=MH，則A、E、H、F在同一圓上；連接AH，證∠EFH=30°由A、E、H、F在同一圓上，得∠EAH=∠EFH=30°，線段AH即為H移動的路徑，在直角三角形ABH中，，可進一步求AH.

解：（1）在矩形ABCD中，∠A=∠B=90°，

∴∠AEF+∠AFE=90°，

∵EF⊥CE，

∴∠AEF+∠BEC=90°，

∴∠AFE=∠BEC，

∴△AEF∽△BCE；

（2）由（1）△AEF∽BEC得

，，

∴，

∵=，

當時，y有最大值為，

∴；

（3）如圖1，連接FH，取EF的中點M，

在等邊三角形EFG中，∵點H是EG的中點，

∴∠EHF=90°，

∴ME=MF=MH，

在直角三角形AEF中，MA=ME=MF，

∴MA=ME=MF=MH，

則A、E、H、F在同一圓上；

如圖2，連接AH，

∵△EFG為等邊三角形，H為EG中點，∴∠EFH=30°

∵A、E、H、F在同一圓上∴∠EAH=∠EFH=30°，

如圖2所示的線段AH即為H移動的路徑，

在直角三角形ABH中，，

∵AB=，

∴AH=3，

所以點H移動的距離為3．