Question

如圖，已知線段AB=10，點C在線段AB上，⊙A、⊙B的半徑分別為AC、BC，D是⊙B上一點，AD交⊙A于E，EC的延長線交⊙B于F．
（1）求證：BF∥AD；
（2）若BD⊥AD，AC=x，DF=y，求y與x的函數關系式，寫出定義域．
（3）在（2）的條件下，點C在線段AB上運動的過程中，DF是否有可能與AB垂直？如果有可能請求出AC的長；如果沒有可能，請說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵E、C在⊙A上，F、C在⊙B上，
∴AE=AC，BC=BF（1分）
∴∠AEC=∠ACE，∠BCF=∠BFC（1分）
∵∠ACE=∠BCF
∴∠AEC=∠BFC（1分）
∴BF∥AD（1分）

（2）解：∵BD⊥AD，BF∥AD
∴∠ADB=∠DBF=90°（1分）
∵AB=10，AC=x
∴BC=10-x（1分）
∴BD=BF=BO=10-x
∵DF=y（1分）
∴DF²=BD²+BF²
∴y²=2（10-x）²，y=（10-x）（0＜x＜10）（3分）

（3）解：假設DF與AB垂直，∵BD=BF
∴∠DBA=∠BDF=45°（1分）
∵∠ADB=∠DBF=90°BD=BD
∴△ABD≌△FDB（1分）
∴AB=DF10=（10-x）
解得：x=10-5（2分）
當AC的長為10-5時DF與AB垂直．
分析：（1）利用圓的半徑相等可以得到相等的角，進而利用平行線的判定定理判定兩線段平行；
（2）利用勾股定理可以得到DF²=BD²+BF²，從而得到兩個變量之間的函數關系．
（3）假設DF與AB垂直，證得△ABD≌△DBF，解得x的值即可．
點評：本題考查了全等三角形的判定及性質及勾股定理的應用，綜合性強，難度較大，同學們要細心作答．