Question

如圖，AD是圓O的切線，切點為A，AB是圓O 的弦.過點B作BC//AD，交圓O于點C，連接AC，過點C作CD//AB，交AD于點D.連接AO并延長交BC于點M，交過點C的直線于點P，且ÐBCP=ÐACD.

(1) 判斷直線PC與圓O的位置關系，并說明理由：
(2) 若AB=9，BC=6，求PC的長.

Answer 1

（1）相切；證明見解析；（2）.

試題分析：（1）通過分析，直線與圓O已經有一個公共點，連接半徑0C，只要證明OC⊥PC即可；（2）根據AD是切線和AD∥BC證明AP⊥BC，利用垂徑定理計算出CM＝BM＝3，在Rt△AMB中，利用勾股定義計算出AM的長，在Rt△OMC中，利用勾股定理建立方程計算出圓O的半徑的長，最后證明△OMC～△OCP，利用相似三角形的對應邊成比例計算出PC的長.
試題解析：(1) 直線PC與圓O相切.
連接CO并延長，交圓O于點N，連接BN.
∵AB//CD，
∴ÐBAC=ÐACD.
∵ÐBAC=ÐBNC，
∴ÐBNC=ÐACD.
∵ÐBCP=ÐACD，
∴ÐBNC=ÐBCP.
∵CN是圓O的直徑，
∴ÐCBN=90°.
∴ÐBNC+ÐBCN=90°，
∴ÐBCP+ÐBCN=90°.
∴ÐPCO=90°，即PC^OC.
又∵點C在圓O上，
∴直線PC與圓O相切.

(2) ∵AD是圓O的切線，
∴AD^OA，即ÐOAD=90°.
∵BC//AD，
∴ÐOMC=180°-ÐOAD=90°，即OM^BC.
∴MC=MB.
∴AB=AC.
在Rt△AMC中，ÐAMC=90°，AC=AB=9，MC=BC=3，
由勾股定理，得AM===6.
設圓O的半徑為r.
在Rt△OMC中，ÐOMC=90°，OM=AM-AO=6-r，MC=3，OC=r，
由勾股定理，得OM ²+MC ²=OC ²，
∴(6-r)²+3²=r².
解得r=.
在△OMC和△OCP中，
∵ÐOMC=ÐOCP，ÐMOC=ÐCOP，
∴△OMC～△OCP.
∴=，即 =.
∴PC=.