Question

如圖，正三角形ABC的邊長為a，D是BC的中點，P是AC邊上的點，連接PB和PD得到△PBD．求：
（1）當點P運動到AC的中點時，△PBD的周長；
（2）△PBD的周長的最小值．

Answer 1

分析：（1）當P為AC的中點時，BP⊥AC，BP=

3

2

a，DP為中位線，DP=

1

2

a，BD=

1

2

a，即可求△PBD的周長；
（2）作點B關于AC的對稱點E，連接EP、EB、ED、EC，則PB+PD=PE+PD，因此ED的長就是PB+PD的最小值，即當點P運動到ED與AC的交點G時，△PBD的周長最�。�

解答：解：（1）BP=

3

2

a，DP=

1

2

a，BD=

1

2

a，
即△PBD的周長為BP+DP+BD=(

3

2

+1)a．

（2）如圖2，作點B關于AC的對稱點E，連接EP、EB、ED、EC，則PB+PD=PE+PD，因此ED的長就是PB+PD的最小值，即當點P運動到ED與AC的交點G時，△PBD的周長最小．
從點D作DF⊥BE，垂足為F，因為BC=a，所以BD=

1

2

a，BE=2

a2-( 1 2 a)2

=

3

a．
因為∠DBF=30°，所以DF=

1

2

BD=

1

4

a，BF=

BD2-DF2

=

3

4

a，EF=BE-BF=

3 3

4

a，DE=

DF2+EF2

=

7

2

a．
所以△PBD的周長的最小值是

1

2

a+

7

2

a=

1+ 7

2

a．

點評：本題考查了勾股定理的靈活運用，解本題的關鍵是作出恰當的圖形，并且根據勾股定理求各邊長．