Question

如圖，在正方形ABCD中，AE=AB，∠AEB=75°．
求證：（1）△BEF是等腰三角形；
（2）點E在線段AD的垂直平分線上．

Answer 1

證明：（1）∵AE=AB，
∴∠ABE=∠AEB=75°，
∴∠FBE=∠ABE-∠ABD=75°-45°=30°，
在△BEF中，∠BFE=180°-∠FBE-∠AEB=180°-30°-75°=75°，
∴∠BFE=∠AEB，
∴BF=BE，即△BEF是等腰三角形；

（2）連接DE，
在△ABE中，∠BAE=180°-∠ABE-∠AEB=180°-75°-75°=30°，
∴∠DAE=∠DAB-∠BAE=90°-30°=60°，
∵正方形ABCD中，AD=AB，
又∵AB=AE，
∴AE=AD，
∴△ADE是等邊三角形．
∴AE=DE，
∴點E在線段AD的垂直平分線上．
分析：（1）根據等腰三角形的性質求得∠BFE的度數，然后根據等角對等邊即可證得；
（2）連接DE，證明△ADE是等邊三角形，根據到線段的兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上，即可證得．
點評：本題考查等腰三角形的判定與性質，以及線段的垂直平分線的判定定理，證明△ADE是等邊三角形是關鍵．