Question

如圖，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，點D是BC上一點，以DA為一邊，點D為頂點作∠ADE=∠C，DE交線段AC于點E．
（1）求證：△ABD∽△DCE．
（2）當AE=ED時，求BD的長．

Answer 1

分析：（1）根據等邊對等角可得∠B=∠C，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，然后求出∠BAD=∠CDE，再利用兩組角對應相等的三角形相似證明；
（2）根據相似三角形對應邊成比例可得

AB

CD

=

AD

DE

，再求出△ABC和△EAD相似，利用相似三角形對應邊成比例可得

AB

DE

=

BC

AD

，然后代入數據整理即可得解．

解答：（1）證明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，
∴∠BAD=∠CDE，
∴△ABD∽△DCE；

（2）解：∵△ABD∽△DCE，
∴

AB

CD

=

AD

DE

，
即

5

CD

=

AD

DE

，
∵AE=ED，
∴∠ADE=∠DAE，
∵∠ADE=∠C，
∴∠ADE=∠DAE=∠B=∠C，
∴△ABC∽△EAD，
∴

AB

DE

=

BC

AD

，
即

5

DE

=

6

AD

，
∴

AD

DE

=

6

5

，
∴

5

CD

=

6

5

，
解得CD=

25

6

，
BD=BC-CD=6-

25

6

=

11

6

．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，主要利用了兩角對應相等，兩三角形相似，以及相似三角形對應邊成比例的性質，（2）兩次利用三角形相似表示出

AD

DE

，然后列出方程求出CD的長是解題的關鍵．