Question

如圖，在?ABCD中，對角線AC⊥BC，AC=BC=2，動點P從點A出發沿AC向終點C移動，過點P分別作PM∥AB交BC于M，PN∥AD交DC于N．連接AM．設AP=x
（1）四邊形PMCN的形狀有可能是菱形嗎？請說明理由；
（2）當x為何值時，四邊形PMCN的面積與△ABM的面積相等？

Answer 1

解：（1）四邊形PMCN不可能是菱形．
點P在運動過程中，△PCM始終是一個直角三角形
斜邊PM大于直角邊MC
∴四邊形PMCN不可能是菱形

（2）∵AC=BC=2，AB∥PM，
∴AP=BM=x，
∴S△ABM=×BM×AC=×x×2=x，
∵由巳知可得四邊形PMCN是平行四邊形，
∴S_{四邊形PMCN}=MC•PC=（2-x）²
解得x₁=1，x₂=4
x₂=4不符合題意，舍去
當x=1時，四邊形PMCN的面積與△ABM的面積相等．
分析：（1）由題可知，四邊形PMCN是一個?，而要想成為一個菱形，則必須有鄰邊相等，如PM=MC，而PM和MC同在一直角三角形中，且PM為斜邊＞直角邊MC，因此不會為菱形；
（2）S_△ABM=x，由巳知可得四邊形PMCN是平行四邊形，則S_{四邊形PMCN}=（2-x）²
解得x₁=1，x₂=4而x₂=4不符合題意，舍去∴當x=1時，四邊形PMCN的面積與△ABM的面積相等．
點評：此題主要考查了平行四邊形和菱形的概念和性質，難易程度適中．