Question

在正方形ABCD中：
（1）已知：如圖①，點E、F分別在BC、CD上，且AE⊥BF，垂足為M，求證：AE=BF．
（2）如圖②，如果點E、F、G分別在BC、CD、DA上，且GE⊥BF，垂足M，那么GE、BF相等嗎？證明你的結論．
（3）如圖③，如果點E、F、G、H分別在BC、CD、DA、AB上，且GE⊥HF，垂足M，那么GE、HF相等嗎？證明你的結論．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，AE⊥BF，
∴∠BAE+∠ABM=90°，∠CBF+∠ABM=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
∵在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AE=BF；

（2）GE=BF．
證明：如圖②，過點A作AN∥GE，
∵AD∥BC，
∴四邊形ANEG是平行四邊形，
∴AN=GE，
∵GE⊥BF，
∴AN⊥BF，
由（1）可得△ABN≌△BCF，
∴AN=BF，
∴GE=BF；

（3）GE=HF．
證明：如圖③，分別過點A、B作AP∥GE，BQ∥HF，
∵AD∥BC，AB∥DC，
∴四邊形APEG、四邊形BQFH為平行四邊形，
∴AP=GE，BQ=HF，
∵GE⊥HF，
∴AP⊥BQ，
由（1）可得△ABP≌△BCQ，
∴AP=BQ，
∴GE=HF．
分析：（1）根據正方形的性質，得到∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC，進而得到∠BAE=∠CBF，則△ABE≌△BCF，進一步根據全等三角形的性質進行證明；
（2）過點A作AN∥GE，可證四邊形ANEG是平行四邊形，根據平行四邊形的對邊相等可得AN=GE，由（1）的結論可知AN=BF，所以GE=BF；
（3）分別過點A、B作AP∥GE，BQ∥HF，可證四邊形APEG、四邊形BQFH為平行四邊形，根據平行四邊形的對邊相等可得AP=GE，BQ=HF，由（1）的結論可知AP=BQ，所以GE=HF．
點評：本題主要考查了正方形的性質和全等三角形的判定，熟練掌握正方形性質確定三角形全等的條件是解題的關鍵，（2）（3）兩題通過作輔助線構造成（1）的形式是得解的關鍵．