Question

已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，動點M從點A出發沿邊AD向點D運動．
（1）如圖1，當b=2a，點M運動到邊AD的中點時，請證明∠BMC=90°；
（2）如圖2，當b＞2a時，點M在運動的過程中，是否存在∠BMC=90°，若存在，請給與證明；若不存在，請說明理由；
（3）如圖3，當b＜2a時，（2）中的結論是否仍然成立？請說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵b=2a，點M是AD的中點，∴AB=AM=MD=DC=a，
又∵在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，∴∠AMB=∠DMC=45°。
∴∠BMC=90°。
（2）解：存在，理由如下：
若∠BMC=90°，則∠AMB=∠DMC=90°。
又∵∠AMB+∠ABM=90°，∴∠ABM=∠DMC。
又∵∠A=∠D=90°，∴△ABM∽△DMC�！�。
設AM=x，則，整理得：x²﹣bx+a²=0。
∵b＞2a，a＞0，b＞0，∴△=b²﹣4a²＞0。
∴方程有兩個不相等的實數根。
又∵兩根之積等于a²＞0，∴兩根同號。
又∵兩根之和等于b ＞0，∴兩根為正。符合題意。
∴當b＞2a時，存在∠BMC=90°。
（3）解：不成立．理由如下：
若∠BMC=90°，由（2）可知x²﹣bx+a²=0，
∵b＜2a，a＞0，b＞0，∴△=b²﹣4a²＜0，∴方程沒有實數根。
∴當b＜2a時，不存在∠BMC=90°，即（2）中的結論不成立。

（1）由b=2a，點M是AD的中點，可得AB=AM=MD=DC=a，又由四邊形ABCD是矩形，即可求得∠AMB=∠DMC=45°，則可求得∠BMC=90°。
（2）由∠BMC=90°，易證得△ABM∽△DMC，設AM=x，根據相似三角形的對應邊成比例，即
可得方程：x2-bx+a2=0，由b＞2a，a＞0，b＞0，即可判定△＞0，結合根與系數的關系可確定方程有兩個不相等的實數根，且兩根均大于零，符合題意。
（3）用反證法，由（2），當b＜2a，a＞0，b＞0，判定方程x2-bx+a2=0的根的情況，即可求得答案。