Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=9，AD=4．E為CD邊上一點，CE=6．點P從點B出發，以每秒1個單位的速度沿著邊BA向終點A運動，連接PE．設點P運動的時間為t秒．

（1）求△ADE的周長；

（2）當t為何值時，△PAE為直角三角形？

（3）是否存在這樣的t，使EA恰好平分∠PED，若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）12；（2）t=6或t=；（3）t=；

【解析】

（1）在直角△ADE中，利用勾股定理進行解答；

（2）先利用勾股定理表示出PE2，在Rt△PAE中，根據勾股定理建立方程求解即可得出結論；

（3）利用角平分線的性質，平行線的性質以及等量代換推知：∠PEA=∠EAP，則PE=PA，由此列出關于t的方程，通過解方程求得相應的t的值即可．

解:（1）∵矩形ABCD中，AB=9，AD=4，

∴CD=AB=9，∠D=90°，

∴DE=9﹣6=3，

∴AE===5；

∴△ADE的周長為3+4+5=12

（2）①若∠EPA=90°，t=6；

②若∠PEA=90°，（6﹣t）2+42+52=（9﹣t）2，

解得t=．

綜上所述，當t=6或t=時，△PAE為直角三角形；

（3）假設存在．

∵EA平分∠PED，∴∠PEA=∠DEA．

∵CD∥AB， ∴∠DEA=∠EAP，

∴∠PEA=∠EAP，

∴PE=PA，

∴（6﹣t）2+42=（9﹣t）2，

解得t=．

∴滿足條件的t存在，此時t=．