Question

如圖，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點D，E是AC的中點，DE的延長線交BC的延長線于點F，EF=5，∠B的正切值為
（1）求證：△BDF∽△DCF；
（2）求BC的長．

Answer 1

（1）證明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∵E是AC的中點，
∴DE=EC，
∴∠EDC=∠ECD，
∵∠ACB=90°，∠BDC=90°
∴∠ECD+∠DCB=90°，∠DCB+∠B=90°，
∴∠ECD=∠B，
∴∠B=∠FDC，
又∵∠F=∠F，
∴△BDF∽△DCF；

（2）解：設DE=x，則AC=2DE=2x，DF=DE+EF=x+5．
∵△BDF∽△DCF，
∴===tan∠B=，
∴BF=2DF=2（x+5），CF=DF=（x+5），
∴BC=BF-CF=（x+5），
在直角△ABC中，∵tan∠B==，
∴BC=2AC，即（x+5）=2×2x，
解得x=3
∴BC=（3+5）=12．
分析：（1）根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出DE=EC，推出∠EDC=∠ECD，求出∠FDC=∠B，根據∠F=∠F證△FBD∽△FDC，即可；
（2）設DE=x，則AC=2x，DF=x+5．由（1）可知△BDF∽△DCF，根據相似三角形對應邊的比相等及正切函數的定義得到===tan∠B=，則BF=2（x+5），CF=（x+5），BC=BF-CF=（x+5），然后在直角△ABC中，根據tan∠B==，得到方程（x+5）=2×2x，解方程求得x=3，進而得到BC=12．
點評：本題考查了相似三角形的判定和性質，銳角三角函數的定義，直角三角形的性質，難度適中，解題的關鍵是由相似三角形的性質得到比例式．