Question

如圖：四邊形ABCD中，AB=CB=，CD=，DA=1，且AB⊥CB于B．

試求：（1）∠BAD的度數；

（2）四邊形ABCD的面積．

Answer 1

【考點】勾股定理；三角形的面積；勾股定理的逆定理．

【專題】計算題．

【分析】連接AC，則在直角△ABC中，已知AB，BC可以求AC，根據AC，AD，CD的長可以判定△ACD為直角三角形，

（1）根據∠BAD=∠CAD+∠BAC，可以求解；

（2）根據四邊形ABCD的面積為△ABC和△ACD的面積之和可以解題．

【解答】解：（1）連接AC，

∵AB⊥CB于B，

∴∠B=90°，

在△ABC中，∵∠B=90°，

∴AB²+BC²=AC²，

又∵AB=CB=，

∴AC=2，∠BAC=∠BCA=45°，

∵CD=，DA=1，

∴CD²=5，DA²=1，AC²=4．

∴AC²+DA²=CD²，

由勾股定理的逆定理得：∠DAC=90°，

∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=45°+90°=135°；

（2）∵∠DAC=90°，AB⊥CB于B，

∴S_△ABC=，S_△DAC=，

∵AB=CB=，DA=1，AC=2，

∴S_△ABC=1，S_△DAC=1

而S_{四邊形ABCD}=S_△ABC+S_△DAC，

∴S_{四邊形ABCD}=2．

【點評】本題考查了勾股定理在直角三角形中的運用，考查了根據勾股定理逆定理判定直角三角形，考查了直角三角形面積的計算，本題中求證△ACD是直角三角形是解題的關鍵．