Question

把Rt△ABC如圖放置在平面直角坐標系中，點A在y軸上，點B在x軸上，∠ABC=90°，若點A的坐標為（0，4），AO=2OB，且∠OAB=∠BAC．
（1）求過點A、B、C三點的拋物線解析式；
（2）若一個動點P自OA的中點M出發，先到達x軸上的某點（設為點E），再到達拋物線的對稱軸上某點（設為點F），最后運動到點A．求使點P運動的總路徑最短的點E、點F的坐標，并求出這個最短總路徑的長；
（3）在AC上是否存在點Q，使得△QBC為等腰三角形？若存在，請直接寫出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）過點C作CD⊥x軸于D．
∵A（0，4），AO=2BO，
∴OB=2，
∴B（2，0），
∵∠ABC=∠AOB=90°，∠OAB=∠BAC
∴△ABC∽△AOB
∴=，
∴==2，
∵∠OBA+∠CBD=90°，∠OBA+∠OAB=90°
∴∠OAB=∠CBD
∵∠CDB=∠AOB=90°
∴△AOB∽△BDC
∴==，
∴BD=2，DC=1
∴C（4，1），
∵拋物線過點A（0，4），
∴設拋物線解析式為：y=ax²+bx+4，
又∵拋物線過B（2，0），C（4，1），
∴解得：a=，b=-，
∴拋物線解析式為：y=x²-x+4；

（2）由（1）中求出的拋物線的解析式可知，拋物線的對稱軸為：直線x=-=，
作A關于直線x=的對稱點A′，則A′（，4），
作M關于x軸的對稱點M′，則M′（0，-2），
連接A′M′交x軸于點E，交直線x=于點F，
則此時點P經過的路線最短，
由對稱性得：ME+FE+FA=A′M′，
又∵A′M′==，
∵直線A′M′解析式為：y=x-2，
∴E（，0），F（，1）；

（3）∵A（0，4），B（2，0），C（4，1），
∴設過A、C兩點的直線解析式為：y=kx+b（k≠0），則，
∴過A、C兩點的直線解析式為：y=-x+4，
設Q（x，-x+4），
①若QB=QC時，則（x-2）²+（-x+4）²=（x-4）²+（-x+4-1）²，解得x=2，
即Q₁（2，）；
同理，②若QC=BC時，Q₂（）；
③若QB=BC時，Q₃（）．
分析：（1）過點C作CD⊥x軸于D，由A（0，4），AO=2BO，可知OB=2，B（2，0），再根據∠ABC=∠AOB=90°，∠OAB=∠BAC可得出△ABC∽△AOB，由相似三角形的性質可知==2，由相似三角形的判定定理可得出△AOB∽△BDC，故可求出C點坐標，利用待定系數法求出過A、B、C三點的拋物線的解析式即可；
（2）求出（1）中拋物線的對稱軸方程，作A關于直線x=的對稱點A′，作M關于x軸的對稱點M′，連接A′M′交x軸于點E，交直線x=于點F，此時點P經過的路線最短，由對稱性得：ME+FE+FA=A′M′，再根據勾股定理求出A′M′的長，得出直線直線A′M′的解析式，故可得出EF兩點的坐標；
（3）先用待定系數法求出過A、C兩點的直線解析式，設Q（x，-x+4），再分QB=QC；QC=BC；QB=BC三種情況利用兩點間的距離公式求出x的值，進而得出Q點的坐標即可．
點評：本題考查的是二次函數綜合題，其中涉及到的知識點有拋物線的對稱軸公式和待定系數法求拋物線的解析式、兩點間的距離公式，在解答（3）時要注意分類討論．