Question

【題目】如圖（1），是兩個全等的直角三角形（直角邊分別為a，b，斜邊為c）

（1）用這樣的兩個三角形構造成如圖（2）的圖形，利用這個圖形，證明：a2+b2=c2；

（2）用這樣的兩個三角形可以拼出多種四邊形，畫出周長最大的四邊形；當a=2，b=4時，求這個四邊形的周長；

（3）當a=1，b=2時，將其中一個直角三角形放入平面直角坐標系中（如圖（3）），使直角頂點與原點重合，兩直角邊a，b分別與x軸、y軸重合．

①請在x軸、y軸上找一點C，使△ABC為等腰三角形；（要求：用尺規畫出所有符合條件的點，并用C1，C2，…，Cn在圖中標出所找的點．只保留作圖痕跡，不寫作法）

②寫出一個滿足條件的在x軸上的點的坐標：_____，寫出一個滿足條件的在y軸上的點坐標：_____．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）畫圖見解析，周長為；（3）①作圖見解析；②（ ，0），（0， ）（答案不唯一）.

【解析】試題分析：（1）由圖知，梯形的面積等于三個直角三角形的面積之和，用字母表示出來，化簡后，即證明勾股定理；

（2）由a與b的值，利用勾股定理求出c的值，拼圖后可知如圖1所示時周長最大，求出最大周長即可；

（3）①分別以A、B為圓心，AB長為半徑畫圓，圓與坐標軸的交點即為滿足條件的點，再作線段AB的垂直平分線，垂直平分線與坐標軸的交點也是滿足條件的點；

②根據①所作的圖形即可得.

試題解析：（1）由圖可得， ×（a+b）（a+b）=ab+c2+ab，

∴a2+2ab+b2=2ab+c2，

∴a2+b2=c2；

（2）當a=2，b=4時，可得：c=，

如圖1時：四邊形的周長為：8+4；

如圖2時，四邊形的周長為：12；

如圖3時，四邊形的周長為：4+4；

綜上，圖1是周長最大的四邊形，周長為：8+4；

（3）①如圖所示；

②如上圖：

一個滿足條件的在x軸上的點的坐標：如C3（﹣1，0）；

一個滿足條件的在y軸上的點的坐標：如C5（0，2+）．

故答案為：（﹣1，0）；（0，2+）（答案不唯一）.