Question

已知：如圖AB是半圓0的直徑，點C在半圓上，CD⊥AB，垂足為D，切線PC交BA的延長線于點P，AD，DB的長是關于x的方程x²-（4m+2）+4m²=0（m＞0）的兩根，且AD：DB=1：4，求：PO、PC的長．

Answer 1

分析：先設AD=x，則BD=4x，由于AD：BD=1：4，可知方程x²-（4m+2）+4m²=0（m＞0）有兩個不相等的實數根，再根據根與系數的關系可得x+4x=4m+2，x•4x=4m²，由于m＞0，可得x=m，把x=m代入x+4x=4m+2，可求x=2，進而可知AD=2，BD=8，那么AB=10，則圓半徑是5，再根據垂徑定理可求CD=4，進而可求OD、AD，根據勾股定理可得PC²=（PA+2）²+16①，再根據切割線定理可得PC²=PA²+10PA②，①②聯合，可求PA=

10

3

，PC=

20

3

，進而可求PO．

解答：解：設AD=x，則BD=4x，
∵AD：BD=1：4，
∴方程x²-（4m+2）+4m²=0（m＞0）有兩個不相等的實數根，
∴x+4x=4m+2，x•4x=4m²，
∵m＞0，
∴x=m，
∴5m=4m+2，
解得m=2，
∴AD=x=2，BD=4x=8，
∴AB=10，
∴OA=OB=OC=5，
連接OC、AC、BC，如右圖，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
又∵CD⊥AB，
∴CD²=AD•BD，
∴CD=4，
∴OD=

OC2-CD2

=3，
∴AD=2，
在Rt△PCD中，PC²=PD²+CD²，
即PC²=（PA+2）²+16①，
∵PC是⊙O切線，PB是割線，
∴PC²=PA（PA+AB），
即PC²=PA²+10PA②，
①②聯合解得PA=

10

3

，PC=

20

3

，
∴PO=PA+OA=

25

3

．

點評：本題考查的是圓的綜合題，解題的關鍵是根據根與系數的關系先求出AD、BD，再求出CD．