Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是正方形，連接AC，將繞點A逆時針旋轉α得，連接CF，O為CF的中點，連接OE，OD．

（1）如圖1，當時，請直接寫出OE與OD的關系（不用證明）．

（2）如圖2，當時，（1）中的結論是否成立？請說明理由．

（3）當時，若，請直接寫出點O經過的路徑長．

Answer 1

【答案】（1），，理由見解析；（2）當時，（1）中的結論成立，理由見解析；（3）點O經過的路徑長為．

【解析】

（1）根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半的性質可得OD與OE的數量關系；根據旋轉的性質和正方形的性質可得AC=AF以及△ACF各內角的度數，進一步即可求出∠COE與∠DOF的度數，進而可得OD與OE的位置關系；

（2）延長EO到點M，使，連接DM、CM、DE，如圖2所示，先根據SAS證明≌，得，，再根據正方形的性質和旋轉的性質推得，進一步在△ACF中根據三角形內角和定理和正方形的性質得出，再一次運用SAS推出≌，于是，進一步即可得出OE、OD的位置關系，然后再運用SAS推出≌，即可得OD與OE的數量關系；

（3）連接AO，如圖3所示，先根據等腰三角形三線合一的性質得出，即可判斷點O的運動路徑，由可得點O經過的路徑長，進一步即可求得結果.

解：（1），；理由如下：

由旋轉的性質得：，，

∵四邊形ABCD是正方形，∴，

∴，

∴，

∵，O為CF的中點，∴，

同理：，∴，

∴，，

∴，∴；

（2）當時，（1）中的結論成立，理由如下：

延長EO到點M，使，連接DM、CM、DE，如圖2所示：

∵O為CF的中點，∴，

在和中，，

∴≌（SAS），∴，.

∵四邊形ABCD是正方形，∴，，

∵繞點A逆時針旋轉α得，

∴，，

∴，，

∵，，，

∴，

∵，，∴，

在中，∵，

∴，

∵，∴，∴，

在和中，，

∴≌（SAS），∴，

∵，∴，

在和中，，

∴≌（SAS），∴.

∴，∴，；

（3）連接AO，如圖3所示：

∵，，∴，∴，

∴點O在以AC為直徑的圓上運動，

∵，∴點O經過的路徑長等于以AC為直徑的圓的周長，

∵，∴點O經過的路徑長為：．