Question

已知關于x的一元二次方程mx ²－(3m＋2)x＋2m＋2＝0(m>0)

（1）求證：方程有兩個不相等的實數根；

（2）設方程的兩個實數根分別為x₁、x₂(x₁＜x₂),若y是關于m的函數，且y=x₂－2x₁，求這個函數的解析式；

（3）在（2）的條件下，結合函數的圖像回答：當自變量m的取值范圍滿足什么條件時，y≤2m.

 

Answer 1

【答案】

（1）證明見解析（2）y=（3）m≥1

【解析】（1）證明：∵a=m,b=-(3m+2),c=2m+2

               ∴Δ=【－(3m+2)】²－4m(2m＋2)

                    =9m²+12m+4－8m²－8m

                    =m²+4m+4

                    =(m+2)²

               又∵m>0

                ∴Δ=(m+2)²>0

                ∴ 此方程有兩個不相等的實數根

（2）先由公式法可求得x=1或x=

          ∵x₁<x₂

         ∴x₁=1,x₂ =

         ∴y=x₂ -2x₁=－2=(m>0)

（3）在同一直角坐標系中分別畫出函數y=(m>0)和y₁=2m的圖像，由圖像可得當m≥1時，y≤2m.圖略.

本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數）的根的判別式△=b²-4ac．當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．本題也考查了不等式的解法，m＞0是一個重要的條件．