Question

已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN繞點A順時針旋轉，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長線）于點M、N，AH⊥MN于點H。
（1）如圖①，當∠MAN繞點A旋轉到BM=DN時，請你直接寫出AH與AB的數量關系：             ；
（2）如圖②，當∠MAN繞點A旋轉到BM≠DN時，（1）中發現的AH與AB的數量關系還成立嗎？如果不成立請寫出理由．如果成立請證明；
（3）如圖③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于點H，且MH=2，NH=3，求AH的長。（可利用（2）得到的結論）

Answer 1

解：（1）如圖①AH=AB； （2）數量關系成立.如圖②，延長CB至E，使BE=DN， ∵ABCD是正方形 ∴AB=AD，∠D=∠ABE=90° ∴Rt△AEB≌Rt△AND ∴AE=AN，∠EAB=∠NAD ∴∠EAM=∠NAM=45° ∵AM=AM ∴△AEM≌△ANM ∵AB、AH是△AEM和△ANM對應邊上的高， ∴AB=AH； （3）如圖③分別沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND ∴BM=2，DN=3，∠B=∠D=∠BAD=90° 分別延長BM和DN交于點C，得正方形ABCE， 由（2）可知，AH=AB=BC=CD=AD，                           設AH=x，則MC=x-2，NC=x-3                             在Rt△MCN中，由勾股定理，得                                     ∴ 解得（不符合題意，舍去） ∴AH=6。

圖② 圖③