Question

已知直線與x軸和y軸分別交于點A和點B，拋物線的頂點M在直線AB上，且拋物線與直線AB的另一個交點為N．

（1）如圖，當點M與點A重合時，求：
①拋物線的解析式；（4分）
②點N的坐標和線段MN的長；（4分）
（2）拋物線在直線AB上平移，是否存在點M，使得△OMN與△AOB相似？若存在，直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．（4分）

Answer 1

（1）①②N（，－4），（2）存在。點M的坐標為（2，－1）或（4，3）

解：（1）①∵直線與x軸和y軸分別交于點A和點B，∴A（，0），B（0，－5）。
當頂點M與點A重合時，∴M（，0）。
∴拋物線的解析式是：，即。
②∵N是直線與在拋物線的交點，
∴，解得或。
∴N（，－4）。
如圖，過N作NC⊥x軸，垂足為C。

∵N（，－4），∴C（，0）
∴NC=4．MC=OM－OC=。
∴。
（2）存在。點M的坐標為（2，－1）或（4，3）。
（1）①由直線與x軸和y軸分別交于點A和點B，求出點A、B的坐標，由頂點M與點A重合，根據二次函數的性質求出頂點解析式。
②聯立和，求出點N的坐標，過N作NC⊥x軸，由勾股定理求出線段MN的長。
（2）存在兩種情況，△OMN與△AOB相似：
情況1，∠OMN=90⁰，過M作MD⊥x軸，垂足為D。

設M（m，），則OD= m，DM=。
又OA=，OB=5，
則由△OMD∽△BAO得，，即，解得m=2。
∴M（2，－1）。
情況2，

∠ONM=90⁰，若△OMN與△AOB相似，則∠OMN=∠OBN。
∴OM=OB=5。
設M（m，），則解得m=4。
∴M（4，3）。
綜上所述，當點M的坐標為（2，－1）或（4，3）時，△OMN與△AOB相似。