Question

已知關于x的方程

1

4

x2-2

a

x+(a+1)2=0有實根．
（1）求a的值；
（2）若關于x的方程mx²+（1-m）x-a=0的所有根均為整數，求整數m的值．

Answer 1

分析：（1）根據一元二次方程的定義及根的判別式求a的值；
（2）利用（1）的結果，將關于x的方程mx²+（1-m）x-a=0轉化為方程mx²+（1-m）x-1=0，然后分類討論：二次項系數的取值分兩種情況：當m=0和m≠0時的兩種情況．

解答：解：（1）∵關于x的方程

1

4

x2-2

a

x+(a+1)2=0為一元二次方程，且有實根．
故滿足：

a≥0 △=(-2 a )2-4× 1 4 ×(a+1)2≥0.

整理得

a≥0 (a-1)2≤0.

解得a=1
（2）∵mx²+（1-m）x-1=0，
∴（mx+1）（x-1）=0；
①當m≠0時，
∴x₁=-

1

m

，x₂=1，
∴整數m的值為1或-1；
②當m=0時，x=1；
綜上所述，整數m的值是1、-1或0．

點評：本題綜合考查了根的判別式和根與系數的關系，在解不等式時一定要注意數值的正負與不等號的變化關系