Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于（2，0）、（1，0），與y軸交于C，直線l1經過點C且平行于x軸，與拋物線的另一個交點為D，將直線l1向下平移t個單位得到直線l2，l2與拋物線交于A、B兩點．

（1）求拋物線解析式及點C的坐標；

（2）當t=2時，探究△ABC的形狀，并說明理由；

（3）在（2）的條件下，點M（m，0）在x軸上自由運動，過M作MN⊥x軸，交直線BC于P，交拋物線于N，若三個點M、N、P中恰有一個點是其他兩個點連線段的中點（三點重合除外），則稱M、N、P三點為“共諧點”，請直接寫出使得M、P、N三點為“共諧點”的m的值．

Answer 1

【答案】（1）點C的坐標為（0，﹣1）；（2）△ABC為直角三角形，理由見解析；（3）使得M、P、N三點為“共諧點”的m的值為或或或．

【解析】

（1）由點的坐標，利用待定系數法即可求出拋物線的解析式，再利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出點C的坐標；

（2）由t和點C的坐標可得出直線l2為y＝3，利用二次函數圖象上點的坐標特征可得出點A、B的坐標，利用兩點間的距離公式可求出AB、AC、BC的值，由AC2＋BC2＝AB2可得出△ABC為直角三角形；

（3）由點B、C的坐標利用待定系數法可求出直線BC的解析式，由點M的坐標可得出點N、P的坐標，分點M為中點、點N為中點及點P為中點三種情況找出關于m的一元二次方程，解之即可得出結論．

（1）將（2，0）、（1，0）代入y=﹣x2+bx+c，得：

，解得：，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+x﹣1．

當x=0時，y=﹣x2+x﹣1=﹣1，

∴點C的坐標為（0，﹣1）．

（2）△ABC為直角三角形，理由如下：

∵t=2，直線l1：y=﹣1，

∴直線l2：y=﹣3．

當y=﹣3時，﹣x2+x﹣1=﹣3，

解得：x1=﹣1，x2=4，

∴點A的坐標為（﹣1，﹣3），點B的坐標為（4，﹣3）．

∵點C的坐標為（0，﹣1），

∴AC=，BC=，AB=5．

∵AC2+BC2=25=AB2，

∴∠ACB=90°，

∴△ABC為直角三角形．

（3）設直線BC的解析式為y=kx+d（k≠0），

將B（4，﹣3）、C（0，﹣1）代入y=kx+d，得：

，解得：，

∴直線BC的解析式為y=﹣x﹣1．

∵點M的坐標為（m，0），

∴點N的坐標為（m，﹣m2+m﹣1），點P的坐標為（m，﹣m﹣1）．

①當點M為中點時，有﹣m2+m﹣1﹣0=0﹣（﹣m﹣1），

整理得：m2﹣2m+4=0，

∵△=（﹣2）2﹣4×1×4=﹣12＜0，

∴該情況不存在；

②當點N為中點時，有0﹣（﹣m2+m﹣1）=﹣m2+m﹣1﹣（﹣m﹣1），

整理得：2m2﹣7m+2=0，

解得：m1=，m2=；

③當點P為中點時，有0﹣（﹣m﹣1）=﹣m﹣1﹣（﹣m2+m﹣1），

整理得：m2﹣5m﹣2=0，

解得：m3=，m4=．

綜上所述：使得M、P、N三點為“共諧點”的m的值為或或或．