Question

如圖1，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，另有一直角梯形DEFH（HF∥DE，∠HDE=90°）的底邊DE落在CB上，腰DH落在CA上，且DE=4，∠DEF=∠CBA，AH∶AC=2∶3。

（1）延長HF交AB于G，求△AHG的面積；
（2）操作：固定△ABC，將直角梯形DEFH以每秒1個單位的速度沿CB方向向右移動，直到點D與點B 重合時停止，設運動的時間為t秒，運動后的直角梯形為DEFH′（如圖2）。
探究1：在運動中，四邊形CDH′H能否為正方形？若能，請求出此時t的值；若不能，請說明理由；
探究2：在運動過程中，△ABC與直角梯形DEFH′重疊部分的面積為y，求y與t的函數關系。

Answer 1

解：（1）∵AH∶AC=2∶3，AC=6， ∴AH=AC=×6=4， 又∵HF∥DE， ∴HG∥CB， ∴△AHG∽△ACB， ∴，即， ∴HG=， ∴； （2）①能為正方形； ∵HH′∥CD，HC∥H′D， ∴四邊形CDH′H為平行四邊形， 又∠C=90°， ∴四邊形CDH′H為矩形， 又CH=AC-AH=6-4=2， ∴當CD=CH=2時，四邊形CDH′H為正方形， 此時可得t=2秒時，四邊形CDH′H為正方形； ②（Ⅰ）∵∠DEF=∠ABC， ∴EF∥AB， ∴當t=4秒時，直角梯形的腰EF與BA重合， 當0≤t≤4時，重疊部分的面積為直角梯形DEFH′的面積， 過F作FM⊥DE于M，=tan∠DEF=tan∠ABC=， ∴ME=FM=×2=，HF=DM=DE-ME=4-=， ∴直角梯形DEFH′的面積為（4+）×2=， ∴y=； （Ⅱ）∵當4＜t≤5時，重疊部分的面積為四邊形CBGH的面積-矩形CDH′H的面積， 而S四邊形CBGH=S△ABC-S△AHG=×8×6-=， S矩形CDH′H=2t， ∴y=-2t； （Ⅲ）當5＜t≤8時，如圖，設H′D交AB于P，BD=8-t， 又， ∴PD=DB=（8-t）， ∴重疊部分的面積y=S， △PDB=PD·DB=·（8-t）（8-t）=（8-t）2=t2-6t+24， ∴重疊部分面積y與t的函數關系式： 。