Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD的三個頂點B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.拋物線y=ax2+bx過A、C兩點.

(1)直接寫出點A的坐標，并求出拋物線的解析式；

(2)動點P從點A出發．沿線段AB向終點B運動，同時點Q從點C出發，沿線段CD向終點D運動．速度均為每秒1個單位長度，運動時間為t秒.過點P作PE⊥AB交AC于點E

①過點E作EF⊥AD于點F，交拋物線于點G.當t為何值時，線段EG最長?

②連接EQ．在點P、Q運動的過程中，判斷有幾個時刻使得△CEQ是等腰三角形?請直接寫出相應的t值.

Answer 1

【答案】(1)點A的坐標為（4，8）

將A (4,8)、C（8，0）兩點坐標分別代入y=ax2+bx

得8=16a+4b

0=64a+8b

解得a=,b=4

∴拋物線的解析式為：y=-x2+4x

（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE==,即=

∴PE=AP=t．PB=8-t．

∴點Ｅ的坐標為（4+t，8-t）.

∴點G的縱坐標為：-（4+t）2+4(4+t）=-t2+8.

∴EG=-t2+8-(8-t)

=-t2+t.

∵-＜0，∴當t=4時，線段EG最長為2.

②共有三個時刻：t1=， t2=，t3= ．

【解析】（1）根據題意即可得到點A的坐標，再由A、C兩點坐標根據待定系數法即可求得拋物線的解析式；

（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，由tan∠PAE，即可表示出點E的坐標，從而得到點G的坐標，EG的長等于點G的縱坐標減去點E的縱坐標，得到一個函數關系式，根據函數關系式的特征即可求得結果；②考慮腰和底，分情況討論。