Question

如圖，矩形紙片ABCD，AD=BC=3，AB=CD=9，在矩形ABCD的邊AB上取一點M，在CD上取一點N，將紙片沿MN折疊，使MB與DN交于點K，得到△MNK，以下命題：
①△MNK一定是等腰三角形；
②△MNK可能是鈍角三角形；
③△MNK有最小面積且等于4.5；
④△MNK有最大面積且7.5，
其中對△MNK的敘述正確的為________．

Answer 1

①②③④
分析：①首先根據矩形的性質可得AM∥DN，再根據平行線的性質可得∠KNM=∠1，由折疊可得∠KMN=∠1，進而得到∠KNM=∠KMN，根據等角對等邊可得KN=KM，得到△MNK是等腰三角形；
②利用將矩形紙片沿對角線AC對折，此時折痕為AC，即可得出△MNK是鈍角三角形；
③根據當KN=AD=3時，△MNK最小面積求出即可；
④此題要分兩種情況進行討論：①將矩形紙片對折，使點B與點D重合，此時點K也與點D重合；②將矩形紙片沿對角線AC對折，此時折痕為AC，分別進行計算即可．
解答：①如圖1，∵四邊形ABCD是矩形，
∴AM∥DN，
∴∠KNM=∠1．
∵∠KMN=∠1，
∴∠KNM=∠KMN．
∴KN=KM，
∴△MNK是等腰三角形，故此選項正確；
②如圖3，△MNK可是鈍角三角形，故此選項正確；
③如圖1，當KN=AD=3時，此時，△MNK面積最小，△MNK最小面積為：×3×3=4.5，故此選項正確；
④分兩種情況：
情況一：如圖2，將矩形紙片對折，使點B與點D重合，此時點K也與點D重合．
設MK=MD=x，則AM=9-x，
在Rt△DAM中，由勾股定理，得x²=（9-x）²+3²，
解得，x=5．
即MD=ND=5，
故S_△MNK=S_梯形AMND-S_△ADM=9×3×-4×3×=7.5．
情況二：如圖3，將矩形紙片沿對角線AC對折，此時折痕為AC．
設MK=AK=CK=x，則DK=9-x，
同理可得x²=（9-x）²+3²，
解得：x=5，
即MK=NK=5．
故S_△MNK=S_△DAC-S_△DAK=×9×3-×4×3=7.5，故此選項正確；
故答案為：①②③④．
點評：此題主要考查了翻折變換、矩形的性質、勾股定理、三角形的面積計算等知識，注意分類思想的運用，綜合性較強，有一點的難度．