Question

隨著句容近幾年經濟的快速發展，人民生活水平逐步提高，市場對魚肉的需求量逐年增大．某農戶計劃投資養殖魚和生豬，根據市場調查與預測，養殖生豬的利潤y₁與投資量x成正比例關系，如圖①所示；養殖魚的利潤y₂與投資量x成二次函數關系，如圖②所示（利潤與投資量的單位：萬元）
（1）分別求出利潤y₁與y₂關于投資量x的函數關系式；
（2）如果該農戶準備以共計8萬元資金投入養殖魚和生豬，假設他將其中的t萬元投入養殖魚，剩下的資金全部投入養殖生豬，請你運用所學的知識幫助該農戶得出他至少可以獲得的利潤是多少？該農戶能否獲得最大的利潤？若能，請求出最大利潤是多少？若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用函數圖象以及圖象上點的坐標假設出函數解析式進而求出即可；
（2）利用（1）中所求解析式得出y=

1

2

t²+2（8-t）進而利用二次函數最值求出即可．

解答：解：（1）將（1，2）代入y₁=kx得：
k=2，故y₁=2x，
將（2，2）代入y₂=ax²，求得a=

1

2

，
∴y₂=

1

2

x²；

（2）設所獲總利潤為y萬元，
則y=

1

2

t²+2（8-t）=

1

2

t²-2t+16（0≤t≤8）
∵

1

2

＞0  當t=-

-2

2× 1 2

=2時，y_最小值=14，
由0≤t≤8，根據增減性，當x=8時，y_最大值=32，
∴農場至少獲得14萬元，當將8萬元全部用于養殖魚時，最多獲得32萬元．

點評：此題主要考查了二次函數的應用以及二次函數最值求法，得出y與t的函數關系式是解題關鍵．