Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為4，E是BC邊的中點，點P在射線AD上，過P作PF⊥AE于F，設PA=x。

（1）求證：△PFA∽△ABE；

（2）若以P，F，E為頂點的三角形也與△ABE相似，試求x的值；

Answer 1

【答案】（1）、證明過程見解析；（2）、x=2或x=5.

【解析】

試題分析：（1）、根據正方形的性質得出∠PAF=∠AEB，根據PF⊥AE得出∠PFA=∠ABE=90°，從而說明三角形相似；（2）、分兩種情況討論：當∠PEF=∠EAB時，則有PE∥AB，則四邊形ABEP為矩形，得出PA=EB=2；當∠PEF=∠AEB時，根據∠PAF=∠AEB得出∠PEF=∠PAF，則PE=PA，根據直角以及中點的性質求出AE、EF的長度，然后根據相似三角形的相似比得出答案.

試題解析：（1）、∵正方形ABCD，∴AD∥BC。

∴∠ABE=90°，

∴∠PAF=∠AEB，

又∵PF⊥AE，

∴∠PFA=∠ABE=90°．

∴△PFA∽△ABE；

（2）、情況1，當△EFP∽△ABE，且∠PEF=∠EAB時，則有PE∥AB，

∴四邊形ABEP為矩形

∴PA=EB=2，即x=2

情況2，當△PFE∽△ABE，且∠PEF=∠AEB時，

∵∠PAF=∠AEB，

∴∠PEF=∠PAF

∴PE=PA

∵PF⊥AE，

∴點F為AE的中點。

∵，

∴。

∵，

即，

∴PE=5，即x=5。

∴滿足條件的x的值為2或5。