Question

如圖，矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于O點，點P是線段AD上一動點（不與點D重合），PO的延長線交BC于Q點．
（1）求證：四邊形PBQD為平行四邊形．
（2）若AB=3cm，AD=4cm，P從點A出發．以1cm/秒的速度向點D勻速運動．設點P運動時間為t秒，問四邊形PBQD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應的t值；如果不能，說明理由．

Answer 1

分析：（1）依據矩形的性質和平行線的性質，通過全等三角形的判定定理判定△POD≌△QOB，所以OP=OQ，則四邊形PBQD的對角線互相平分，故四邊形PBQD為平行四邊形．
（2）點P從點A出發運動t秒時，AP=tcm，PD=（4-t）cm．當四邊形PBQD是菱形時，PB=PD=（4-t）cm．在直角△ABP中，根據勾股定理得到AP²+AB²=PB²，即t²+3²=（4-t）²，由此可以求得t的值．

解答：（1）證明：如圖，∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，OD=OB，
∴∠PDO=∠QOB，
在△POD與△QOB中，

∠PDO=∠QBO OD=OB ∠POD=∠QOB

，
∴△POD≌△QOB（ASA），
∴OP=OQ，
∴四邊形PBQD為平行四邊形；

（2）點P從點A出發運動t秒時，AP=tcm，PD=（4-t）cm．
當四邊形PBQD是菱形時，PB=PD=（4-t）cm．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAP=90°，
∴在直角△ABP中，AB=3cm，AP²+AB²=PB²，即t²+3²=（4-t）²，
解得：t=

7

8

，
∴點P運動時間為

7

8

秒時，四邊形PBQD能夠成為菱形．

點評：本題考查了平行四邊形的判定、矩形的性質以及菱形的性質．凡是可以用平行四邊形知識證明的問題，不要再回到用三角形全等證明，應直接運用平行四邊形的性質和判定去解決問題．