Question

39、如圖，點O是∠EPF的平分線上的一點，以O為圓心的圓和角的兩邊分別交于點A，B和C，D，
（1）AB和CD相等嗎？為什么？
（2）若角的頂點P在圓上，或在圓內，本題的結論是否成立？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）分別過O作OG⊥AB，OH⊥CD，根據角平分線定理得到OG=OH，然后由垂徑定理可以得到AB=CD；
（2）根據題意畫出點P在圓上和圓內的情況，根據垂徑定理可以證明結論成立．

解答：解：（1）相等．
如圖：
作OG⊥AB于G，OH⊥CD于H，AG=BG，CH=DH，
∵∠EPO=∠FPO，
∴OG=OH．
在Rt△OBG和Rt△ODH中，
由HL定理得：△OBG≌△ODH，
∴GB=HD，
∴AB=CD；

（2）點P在圓上，或在圓內，結論成立．
如圖1：
頂點P在圓上，此時點P，A，C重合于點A，作OG⊥AB于G，OH⊥AD于H，
∴AG=GB，AH=HD，
∵∠EAO=∠DAO，
∴OG=OH．
在Rt△OAG和Rt△OAH中，由HL定理得：△OAG≌△OAH，
∴AG=AH，
∴AB=AD．
即點P在圓上，結論成立．
如圖2：
頂點P在圓內，作OG⊥AB于G，OH⊥CD于H，則AG=GB，CH=HD，
∵∠EPO=∠FPO，
∴OG=OH，
∴GB=HD，
∴AB=CD．
即點P在圓內，結論成立．

點評：本題考查的是垂徑定理，先根據角平分線的性質定理，得到兩條弦心距相等，然后再說明兩條弦相等．