Question

已知：關于x的方程2x²-（3m+n）x+mn=0，且m＞n＞0．
求證：（1）這個方程有兩個不相等的實數根；
（2）這個方程的兩根中，有一個比n大，另一個比n�。�

Answer 1

解：（1）∵△=（3m+n）²-8mn=9m²-2mn+n²=（3m-n）²+4mn＞0，
∴這個方程有兩個不相等的實數根．

（2）設這個方程兩個實數根為α、β，α+β=，αβ=，
∵（α-n）（β-n）=αβ-n（α+β）+n²=，
又∵m＞n＞0∴n-2m＜0
∴（α-n）（β-n）＜0，
∴α-n與β-n必為一正一負．
∴這個方程的兩根中，有一個比n大，另一個比n�。�
分析：（1）證明其△=（3m+n）²-8mn=9m²-2mn+n²=（3m-n）²+4mn＞0進而可以得到方程有兩個不相等的實數根；
（2）利用根與系數的關系得到α+β=，αβ=，然后計算∵（α-n）（β-n）＜0，即可得到這個方程的兩根中，有一個比n大，另一個比n�。�
點評：本題考查了根的判別式及根與系數的關系，解題的關鍵是利用根與系數的關系得到兩根之和和兩根之積．