Question

【題目】在菱形ABCD中，∠BAD=α，E為對角線AC上的一點（不與A，C重合），將射線EB繞點E順時針旋轉β角之后，所得射線與直線AD交于F點．試探究線段EB與EF的數量關系．

（1）如圖1，當α=β=90°時，EB與EF的數量關系為　 　．

（2）如圖2，當α=60°，β=120°時．

①依題意補全圖形；

②探究（1）的結論是否成立．若成立，請給出證明；若不成立，請舉出反例說明；

（3）在此基礎上對一般的圖形進行了探究，設∠ABE=γ，若旋轉后所得的線段EF與EB的數量關系滿足（1）中的結論，請直接寫出角α，β，γ滿足的關系： 　．

Answer 1

【答案】(1)EB=EF；(2)①見解析；②結論依然成立EB=EF，證明見解析；(3)α+β=180°或°.

【解析】

（1）過E作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．當α=β=90°時，菱形ABCD是正方形，可以證明ANEM是正方形，再證明△EMF≌△ENB，即可得出結論；

（2）①依題意補全圖形如圖2所示，②證法1，利用菱形的性質得出，∠DAC＝∠BAC，再用角平分線的性質，得出EM＝EN，進而判斷出△EFM≌△EBN即可；

證法2，利用菱形的性質直接判斷出△AED≌△AEB，即可得出結論；

（3）直接得出結論．

（1）EB＝EF．理由如下：

過E作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．當α=β=90°時，菱形ABCD是正方形，∴∠DAC=∠CAB=45°，∴EM=EN，∴ANEM是正方形，∴∠NEM=90°．

∵∠FEB=90°，∴∠MEF=∠NEB．

∵∠EMF=∠ENB=90°，∴△EMF≌△ENB，∴EB=EF．

故答案為：EB＝EF；

（2）①補全圖形如圖2所示：

②結論依然成立EB＝EF．理由如下：

證法1：如圖3．

過點E作EM⊥AF于M，EN⊥AB于N．

∵四邊形ABCD為菱形，∴∠CAD＝∠CAB．

∵EM⊥AF，EN⊥AB，∴∠FME＝∠N＝90°，EM＝EN．

∵∠BAD＝60°，∠BEF＝120°，∴∠F+∠ABE＝360°﹣∠BAD﹣∠BEF＝180°．

∵∠ABE+∠EBN＝180°，∴∠F＝∠EBN．

在△EFM與△EBN中，∵，∴△EFM≌△EBN，∴EF＝EB；

證法2：如圖4，連接ED．

∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∠DAC＝∠BAE．

又∵AE＝AE，∴△ADE≌△ABE，∴ED＝EB，∠ADE＝∠ABE．

又∵∠DAB＝60°，∠BEF＝120°，∴∠F+∠ABE＝180°．

又∵∠ADE+∠FDE＝180°，∴∠F＝∠FDE，∴EF＝ED，∴EF＝EB．

（3）α+β=180°或°．