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【題目】在菱形ABCD中,∠BAD,E為對角線AC上的一點(不與A,C重合),將射線EB繞點E順時針旋轉β角之后,所得射線與直線AD交于F點.試探究線段EBEF的數量關系.

1)如圖1,當α=β=90°時,EBEF的數量關系為   

2)如圖2,當α=60°β=120°時.

①依題意補全圖形;

②探究(1)的結論是否成立.若成立,請給出證明;若不成立,請舉出反例說明;

3)在此基礎上對一般的圖形進行了探究,設∠ABE=γ,若旋轉后所得的線段EFEB的數量關系滿足(1)中的結論,請直接寫出角α,β,γ滿足的關系:  

【答案】(1)EB=EF;(2)①見解析;②結論依然成立EB=EF,證明見解析;(3)α+β=180°或°.

【解析】

(1)EEMADM,ENABN當α=β=90°時,菱形ABCD是正方形,可以證明ANEM是正方形,再證明△EMF≌△ENB,即可得出結論;

(2)依題意補全圖形如圖2所示,證法1,利用菱形的性質得出,∠DAC=∠BAC,再用角平分線的性質,得出EMEN,進而判斷出△EFM≌△EBN即可

證法2,利用菱形的性質直接判斷出△AED≌△AEB即可得出結論;

(3)直接得出結論

1)EBEF理由如下

EEMADM,ENABN當α=β=90°時,菱形ABCD是正方形,∴∠DAC=∠CAB=45°,∴EM=EN,∴ANEM是正方形,∴∠NEM=90°.

∵∠FEB=90°,∴∠MEF=∠NEB

∵∠EMF=∠ENB=90°,∴△EMF≌△ENB,∴EB=EF

故答案為:EBEF

(2)補全圖形如圖2所示

結論依然成立EBEF理由如下

證法1:如圖3.

過點EEMAFMENABN

∵四邊形ABCD為菱形,∴∠CAD=∠CAB

EMAF,ENAB,∴∠FME=∠N=90°,EMEN

∵∠BAD=60°,∠BEF=120°,∴∠F+∠ABE=360°﹣∠BAD﹣∠BEF=180°.

∵∠ABE+∠EBN=180°,∴∠F=∠EBN

在△EFM與△EBN中,∵,∴△EFM≌△EBN,∴EFEB;

證法2:如圖4,連接ED

∵四邊形ABCD是菱形,∴ADAB,∠DAC=∠BAE

又∵AEAE,∴△ADE≌△ABE,∴EDEB,∠ADE=∠ABE

又∵∠DAB=60°,∠BEF=120°,∴∠F+∠ABE=180°.

又∵∠ADE+∠FDE=180°,∴∠F=∠FDE,∴EFED,∴EFEB

(3)α+β=180°或°.

練習冊系列答案
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(2)求證:△ADE≌△BCD

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