Question

如圖,在□ABCD中,過A、B、D三點的⊙O交BC于點E,連接DE,∠CDE=∠DAE．
（1）判斷四邊形ABED的形狀，并說明理由；
（2）判斷直線DC與⊙O的位置關系，并說明理由；
（3）若AB=3，AE=6，求CE的長．

Answer 1

（1）等腰梯形，理由見解析；（2）相切，理由見解析；（3）.

試題分析：（1）四邊形ABED為等腰梯形，理由為：利用四邊形的外角等于它的內對角得到一對角相等，再由平行四邊形的對角相等，利用等量代換得到∠DEC=∠C，利用等角對等邊得到DE=DC，而DC=AB，故DE=AB，再由BE與AD平行，DE與AB不平行即可得證；
（2）DC與圓O相切，理由：連接DO并延長與圓交于F點，利用圓周角定理及等量代換得到OD與DC垂直，即可得證；
（3）由等腰梯形對角線相等得到AE=BD，利用弦切角等于夾弧所對的圓周角，以及公共角相等得到三角形CDE與三角形BCD相似，由相似得比例，即可求出CE的長．
試題解析：（1）四邊形ABED是等腰梯形．
理由如下：在□ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB．
∴，DE=AB．
∵AB∥CD，∴AB與DE不平行．
∴四邊形ABDE是等腰梯形．
（2）直線DC與⊙O相切．
如圖，作直徑DF，連接AF．于是，∠EAF=∠EDF．

∵∠DAE=∠CDE，
∴∠EAF＋∠DAE=∠EDF＋∠CDE，即∠DAF=∠CDF．
∵DF是⊙O的直徑，點A在⊙O上，
∴∠DAF=90°，∴∠CDF=90°．∴OD⊥CD．
直線DC經過⊙O半徑OD外端D，且與半徑垂直，
直線DC與⊙O相切．
（3）由（1），∠EDA=∠DAB．
在□ABCD中，∠DAB=∠DCB，
∴∠EDA=∠DCB．又∵∠DAE=∠CDE，
∴△ADE∽△DCE．
∴，
∵AB=3，由（1）得，AB=DE=DC=3．
即．
解得，CE=．