Question

已知AB是半徑為1的圓O的一條弦，且AB=a＜1，以AB為一邊在圓O內作正三角形ABC，點D為圓O上不同于點A的一點，且DB=AB=a，DC的延長線交圓O于點E，求AE的長．

Answer 1

分析：連接OA，OB，OD，OE，設∠CDB=x，根據等邊三角形的性質可得∠CAB=∠CBA=60°，CB=AB，而DB=AB，則∠BCD=x，利用三角形內角和定理得∠CBD=180°-2x，則∠ABD=∠ABC+∠CBD=60°+180°-2x=240°-2x，易證得△OAB≌△OBD，則∠ABO=∠DBO，可計算出∠ABO=

1

2

∠ABD=

1

2

（240°-2x）=120°-x，而OA=OB，于是∠OAB=∠OBA=120°-x，根據圓的內接四邊形的對角互補得到∠EDB+∠EAB=180°，則∠EAB=180°-x，可計算出∠EAC=∠EAB-∠CAB=180°-x-60°=120°-x，即∠EAC=∠OAB，則有∠EAO=∠BAC=60°，而OE=OA，所以△OAE為等邊三角形，即可得到AE=OA=1．

解答：解：如圖，連接OA，OB，OD，OE，設∠CDB=x．
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠CAB=∠CBA=60°，CB=AB，
而DB=AB，
∴BC=BD，
∴∠BCD=x，
∴∠CBD=180°-2x，
∴∠ABD=∠ABC+∠CBD=60°+180°-2x=240°-2x，
易證得△OAB≌△OBD，
∴∠ABO=∠DBO，
∴∠ABO=

1

2

∠ABD=

1

2

（240°-2x）=120°-x，
而OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=120°-x，
又∵∠EDB+∠EAB=180°，
∴∠EAB=180°-x，
∴∠EAC=∠EAB-∠CAB=180°-x-60°=120°-x，
∴∠EAC=∠OAB，
∴∠EAO=∠BAC=60°，
而OE=OA，
∴△OAE為等邊三角形，
∴AE=OA=1．

點評：本題考查了圓的綜合題：圓的內接四邊形的對角互補；熟練掌握和運用等邊三角形的判定與性質、三角形內角和定理以及等腰三角形的性質．