Question

【題目】如圖①ABCD的對角線AC和BD相交于點O，EF過點O且與邊AB，CD分別相交于點E和點F．

（1）求證：OE=OF

（2）如圖②，已知AD=1，BD=2，AC=2，∠DOF=∠α，

①當∠α為多少度時，EF⊥AC？

②連結AF，求△ADF的周長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①當為時，；②的周長為．

【解析】

（1）根據平行四邊形的性質可得，再根據平行線的性質可得，然后根據三角形全等的判定定理與性質即可得證；

（2）①利用勾股定理的逆定理證明是等腰直角三角形，則，若，根據角互余的定義即可得出答案；

②由①的結論、平行四邊形的性質可得EF垂直平分AC，從而根據垂直平分線的性質可得，由此即可得出的周長．

（1）∵四邊形ABCD 是平行四邊形

∴

∴

在和中，

∴

∴；

（2）①∵四邊形ABCD 是平行四邊形，

∴

又

∴

是等腰直角三角形

若，則

∴

故當為時，；

②∵四邊形ABCD 是平行四邊形

又∵

∴EF垂直平分AC

∴

由①知，，即

則的周長為

故的周長為．