Question

小華用兩塊不全等的等腰直角三角形的三角板擺放圖形．
（1）如圖①所示△ABC，△DBE，兩直角邊交于點F，過點F作FG∥BC交AB于點G，連接BF、AD，則線段BF與線段AD的數量關系是______；直線BF與直線AD的位置關系是______，并求證：FG+DC=AC；
（2）如果小華將兩塊三角板△ABC，△DBE如圖②所示擺放，使D、B、C三點在一條直線上，AC、DE的延長線相交于點F，過點F作FG∥BC，交直線AE于點G，連接AD，FB，則FG、DC、AC之間滿足的數量關系式是______；
（3）在（2）的條件下，若AG=，DC=5，將一個45°角的頂點與點B重合，并繞點B旋轉，這個角的兩邊分別交線段FG于P、Q兩點（如圖③），線段DF分別與線段BQ、BP相交于M、N兩點，若PG=2，求線段MN的長．

Answer 1

解：（1）結論：
則線段BF與線段AC的數量關系是：相等；直線BF與直線AC的位置關系是：互相垂直；
理由：∵△ABD是等腰直角三角形，且FG∥BD，
∴△AFG、△AEF都是等腰直角三角形；
而∠ABD=∠FCD=45°，則△BEC也是等腰直角三角形，
∴AE=EF，BE=CF，
又∵∠AEC=∠BEF=90°，
∴△BEF≌△CEA，得BF=AC，∠BFE=∠CAE；
∵∠EBF+∠BFE=90°，故∠EBF+∠CAE=90°，即BF、AC互相垂直．
證明：∵△ABC、△BDE是等腰直角三角形
∴∠ABC=∠BAC=∠BDE=45°，
∵AD⊥BC，
∴∠CFD=45°，
∴CD=CF；
∵FG∥BC，∠AGF=∠ABC=45°，
∴FG=AF，
∵AD=AF+FC，
∴AD=FG+DC．

（2）FG、DC、AD之間滿足的數量關系式是FG=DC+AC（解法同（1））．

（3）過點B作BH⊥FG垂足為H，過點P作PK⊥AG垂足為K；
∵FG∥BC，C、D、B在一條直線上，
可證△AFG、△DCF是等腰直角三角形，
∵AG=7，CD=5，
∴根據勾股定理得：AF=FG=7，FD=5，
∴AC=BC=2，
∴BD=3；
∵BH⊥FG，
∴BH∥CF，∠BHF=90°，
∵FG∥BC，
∴四邊形CFHB是矩形，
∴BH=5，FH=2；
∵FG∥BC，
∴∠G=45°，
∴HG=BH=5，BG=5；
∵PK⊥AG，PG=2，
∴PK=KG=，
∴BK=5-=4；
∵∠PBQ=45°，∠HGB=45°，
∴∠GBH=45°，
∴∠1=∠2；
∵PK⊥AG，BH⊥FG，
∴∠BHQ=∠BKP=90°，
∴△BQH∽△BPK，
∴，
∴QH=，
∴；
∵FG∥BC，
∴∠D=∠MFQ，∠CBM=∠FQM，
∴△FQM∽△DBM，可求得DM=4；
∵∠D=∠MFQ，∠DNB=∠FNP，
∴△BDN∽△PFN，
∴，
∴，
∴．
分析：（1）BF、ED的數量關系應該是相等，可通過證△BEF≌△BEA來得到這個結論，易證得△AEF、△BED都是等腰直角三角形，則AE=EF、BE=DE，即可證得所求的三角形全等；進而可得∠BFE=∠BAD，由于∠EBF、∠BFE互余，因此∠EBF、∠BAD也互余，由此得BF、AD互相垂直；易知△AFG、△CDF是等腰直角三角形，則AF=FG、CD=CF，即可證得AC=FG+CD．
（2）解法同（1）．
（3）此題較復雜，易得△ABC、△FCD、△AFG、△BED都是等腰直角三角形，根據已知條件先求得AC、BC、BD、CF、BG的長，過B作BH⊥FG于H，過P作PK⊥AG于K；已知PG的長，易求得PK、KG的值，進而可求得BK的長；易證得△BQH∽△BPK，根據得到的比例線段，可求得QH的長，進而可得FQ的長，然后通過△FQM∽△DBM，可求得DM的長，進而由△BDN∽△PFN求出DN的值，即可根據MN=DM-DN求出MN的值．
點評：此題考查了等腰直角三角形的性質、全等三角形及相似三角形的判定和性質等知識的綜合應用，難度較大．