Question

如圖，P為△ABC的邊BC上的任意一點，設BC=a，
當B₁、C₁分別為AB、AC的中點時，B₁C₁=

1

2

a，
當B₂、C₂分別為BB₁、CC₁的中點時，B₂C₂=

3

4

a，
當B₃、C₃分別為BB₂、CC₂的中點時，B₃C₃=

7

8

a，
當B₄、C₄分別為BB₃、CC₃的中點時，B₄C₄=

15

16

a，
當B₅、C₅分別為BB₄、CC₄的中點時，B₅C₅=

 

，
…
當B_n、C_n分別為BB_n-1、CC_n-1的中點時，則B_nC_n=

 

；
設△ABC中BC邊上的高為h，則△PB_nC_n的面積為

 

（用含a、h的式子表示）．

Answer 1

分析：設AB=b，則AB₁=

1

2

b，AB₂=（

1

2

+

1

22

）b=

22-1

22

b，AB₃=（

1

2

+

1

22

+

1

23

）b=

23-1

23

b，由此可得AB₅=（

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

+

1

25

）b=

25-1

25

b，AB_n=（

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

）b=

2n-1

2n

b，即

ABn

AB

=

2n-1

2n

，再利用三角形相似求B_nC_n及△PB_nC_n的面積．

解答：解：設AB=b，∵B₅C₅∥BC，∴△AB₅C₅∽△ABC，∴

B5C5

BC

=

AB5

AB

，
B₅C₅=

BC

AB

•AB₅=

a

b

•

25-1

25

b=

31

32

a，
同理可得△AB_nC_n∽△ABC，
∴

BnCn

BC

=

ABn

AB

，
B_nC_n=

BC

AB

•AB_n=

a

b

•

2n-1

2n

b=

2n-1

2n

a，
設△AB_nC_n中B_nC_n邊上的高為h_n，則

hn

h

=

BnCn

BC

，即h_n=

2n-1

2n

h，
∴S_△PBnCn=

1

2

B_nC_n•（h-h_n）=

2n-1

22n+1

ah．
故答案為：

31

32

a，

2n-1

2n

a，

2n-1

22n+1

ah．

點評：本題考查了三角形相似的判定與性質的運用．關鍵是由易到難，找出求邊長和高的一般規律．