Question

閱讀材料： 小明在學習二次根式后，發現一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如：，善于思考的小明進行了以下探索：

 設（其中均為整數），則有 ．

∴．這樣小明就找到了一種把部分的式子化為平方式的方法．

請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：

當均為正整數時，若，用含m、n的式子分別表示，得 ＝　    　，＝　    　；

（2）利用所探索的結論，找一組正整數，填空：    ＋　  　＝(　  　＋　  　)²；

（3）若，且均為正整數，求的值．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）；。

（2）4，2，1，1（答案不唯一）。

（3）由題意，得 。

∵4＝2mn，且m、n為正整數，

∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2。

∴＝2²＋3×1²＝7或＝1²＋3×2²＝13。

【解析】

試題分析：（1）∵(m＋n)²＝m²＋2mn＋3n²=（m²＋3n²）＋2mn，

∴＝m²+3n²，＝2mn。

（2）∵(1＋)²＝1＋2＋3=4＋，

∴＝1，b＝1，m＝4，n＝1。（答案不唯一）。

（3）把(m＋n)²應用完全平方公式展開后，得到不定方程組進行分析求解。