Question

如圖14，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（m，m），點B的坐標為（n，），

拋物線經過A、O、B三點，連結OA、OB、AB，線段AB交y軸于點C．已知實數m、

n（m＜n）分別是方程的兩根.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點P為線段OB上的一個動點（不與點O、

B重合），直線PC與拋物線交于D、E兩點

（點D在軸右側），連結OD、BD.

① 當△OPC為等腰三角形時，求點P的坐標；

② 求△BOD 面積的最大值，并寫出此時點D

的坐標.

Answer 1

 解（1）解方程，得 ，.

∵，∴，………………………………………………（1分）

∴A（-1，-1），B（3，-3）.

∵拋物線過原點，設拋物線的解析式為.

∴  解得，.

∴拋物線的解析式為 .  ………………………………（4分）

（2）①設直線AB的解析式為.

∴  解得，.

 ∴直線AB的解析式為.

∴C點坐標為（0，）.………………（6分）

∵直線OB過點O（0，0），B（3，-3），

∴直線OB的解析式為.

∵△OPC為等腰三角形，∴OC=OP或OP=PC或OC=PC.

設，，

（i）當OC=OP時, .

解得，（舍去）. ∴ P（， ）.

（ii）當OP=PC時，點P在線段OC的中垂線上，∴  (，.

（iii）當OC=PC時，由，

解得，（舍去）. ∴ P(.

  ∴P點坐標為P（,）或 (,或P(.…（9分）

②過點D作DG⊥x軸，垂足為G，交OB于Q，過B作BH⊥x軸，垂足為H.

設Q（，），D(，).

 =

==，

∵0＜＜3，

∴當時，S取得最大值為，此時D（，.………………（13分）