Question

如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC為矩形，OA=3，OC=4，P為線段AB上一動點（不與A，B重合），將直線OP繞點P逆時針方向旋轉90°交直線BC于點Q；
（1）當點P在線段AB上運動（不與A，B重合）時，求證：OA•BQ=AP•BP；
（2）線段AB上是否存在點P，使△POQ為等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）在（1）成立的條件下，設點P的橫坐標為m，線段CQ的長度為l，求出l關于m的函數解析式，并求出l的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據已知利用相似三角形的判定得到△AOP∽△BPQ，再根據相似三角形的對應邊成比例即可得到OA•BQ=AP•BP；
（2）因為△POQ是等腰三角形所以PO=PQ，根據等式PA²+AO²=PB²+BQ²可求得m的值，從而就可確定點P的坐標；
（3）由第一問可求得BQ的值，從而求得l=3-

4m-m2

3

，所以可得到當m=2時，l有最小值求出即可．

解答：解：（1）證明：∵PO⊥PQ，
∴∠APO+∠BPQ=90°，
在Rt△AOP中，∠APO+∠AOP=90°，
∴∠BPQ=∠AOP，
又∵∠OAB=∠PBQ=90°，
∴△OAP∽△PBQ，
則

AP

OA

=

BQ

BP

，即OA•BQ=AP•BP．

（2）∵△POQ是等腰三角形，
①若P在線段AB上，
∵∠OPQ=90°，
∴PO=PQ，又△OAP∽△PBQ，
∴△OAP≌△PBQ
∴PB=AO，即3=4-m，
∴m=1，即P點坐標（1，3）；
②若P在線段AB的延長線上，PQ交CB的延長線于Q，PO=PQ，
又∵△AOP∽△BPQ，
∴△AOP≌△BPQ，
∴AO=PB，即3=m-4，即P點的坐標（7，3）；
③當P在線段BA的延長線上時，顯然不成立；
故存在P₁（1，3），P₂（7，3）使△POQ為等腰三角形；

（3）解：∵由（1）知，OA•BQ=AP•BP，OA=3，AP=m，BP=4-m，
∴BQ=

m(4-m)

3

，
∴l=3-

4m-m2

3

=

1

3

（m²-4m+4）+

5

3

=

1

3

（m-2）²+

5

3

，
∴當m=2時，l有最小值．

點評：本題考查的是相似形綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質及二次函數的最值問題，涉及面較廣，難度適中．