Question

兩個大小相同且含30°角的三角板ABC和DEC如圖（1）擺放，使直角頂點重合．將圖（1）中△DEC繞點C逆時針旋轉30°得到圖（2），點F、G分別是CD、DE與AB的交點，點H是DE與AC的交點．

（1）不添加輔助線，寫出圖（2）中所有與△BCF全等的三角形；

（2）將圖（2）中的△DEC繞點C逆時針旋轉45°得△D₁E₁C，點F、G、H的對應點分別為F₁、G₁、H₁，如圖（3），探究線段D₁F₁與AH₁之間的數量關系，并寫出推理過程；

（3）在（2）的條件下，若D₁E₁與CE交于點I，求證：G₁I=CI．

 

Answer 1

【答案】

（1）△AGH，△CEH，△DGF

（2）D₁F₁=AH₁，提示:證△BCF₁≌△E₁CH₁（ASA）

     從而得CF₁＝CH₁

     ∴D₁F₁＝AH₁

（3）連結CG₁

由（2）得D₁F₁＝AH₁，可證得△D₁G₁F₁≌△AG₁H₁（AAS）

可得D₁G₁＝AG₁，再證△D₁G₁C≌△AG₁C（SAS）

可得∠D₁CG₁＝∠ACG₁＝∠D₁CA＝×15°＝7．5 °

∴∠ICG₁＝37．5°，又可求得∠CIE₁＝75°

∴∠CG₁I＝37．5°，∴∠ICG₁＝∠IG₁C

     ∴CI＝G₁I

【解析】（1）根據全等三角形的判斷解答（2）證得△BCF₁≌△E₁CH₁，求得CF₁＝CH₁，從而得到結論（3）連結CG₁，通過證得△D₁G₁F₁≌△AG₁H₁和△D₁G₁C≌△AG₁C，可得∠D₁CG₁＝∠ACG₁＝∠D₁CA，從而求得結論