Question

【題目】如圖，在△ABC中，三個內角的平分線AD、BM、CN交于點O，OE⊥BC于點E．

（1）求∠ABO+∠BCO+∠CAO的度數；
（2）∠BOD與∠COE是否相等？請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AD、BM、CN是△ABC三個內角的平分線，

∴∠BAO=∠CAO= ∠BAC，∠ABO=∠CBO= ∠ABC，∠ACO=∠BCO= ∠ACB，

∴∠ABO+∠BCO+∠CAO= （∠ABC+∠ACB+∠BAC）．

∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=360°，

∴∠ABO+∠BCO+∠CAO=90°．

（2）解：∠BOD=∠COE，理由如下：

∵∠BOD是△ABO的外角，

∴∠BOD=∠ABO+∠BAO= （∠ABC+∠BAC）= （180°﹣∠ACB）=90°﹣ ∠ACB．

∵OE⊥BC，

∴∠COE+∠BCO=90°，

∴∠COE=90°﹣∠BCO=90°﹣ ∠ACB．

∴∠BOD=∠COE．

【解析】（1）根據角平分線的定義可得∠BAO=∠CAO=∠BAC、∠ABO=∠CBO=∠ABC、∠ACO=∠BCO=∠ACB，結合三角形的內角和可得∠ABO+∠BCO+∠CAO=（∠ABC+∠ACB+∠BAC）=90°；
（2）根據三角形外角的性質可得∠BOD=∠ABO+∠BAO=90°-∠ACB，由OE⊥BC結合三角形內角和可得出∠COE=90°-∠BCO=90°-∠ACB，進而可得出∠BOD=∠COE.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解三角形的內角和外角的相關知識，掌握三角形的三個內角中，只可能有一個內角是直角或鈍角；直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角．