Question

如圖1，在平面直角坐標系中，正方形OABC的頂點A（﹣6，0），過點E（﹣2，0）作EF∥AB，交BO于F；

（1）求EF的長；
（2）過點F作直線l分別與直線AO、直線BC交于點H、G；
①根據上述語句，在圖1上畫出圖形，并證明；
②過點G作直線GD∥AB，交x軸于點D，以圓O為圓心，OH長為半徑在x軸上方作半圓（包括直徑兩端點），使它與GD有公共點P．如圖2所示，當直線l繞點F旋轉時，點P也隨之運動，證明：，并通過操作、觀察，直接寫出BG長度的取值范圍（不必說理）；
（3）在（2）中，若點M（2，），探索2PO+PM的最小值．

Answer 1

（1）2
（2）①見解析  ②見解析
（3）8

試題分析：（1）利用正方形與平行線的性質，易求線段EF的長度．
（2）①首先依題意畫出圖形，如答圖1所示．證明△OFH∽△BFG，得；由EF∥AB，得．所以。
②由OP=OH，則問題轉化為證明，根據①中的結論，易得，故問題得證。
（3）本問為探究型問題，利用線段性質（兩點之間線段最短）解決，如答圖2所示，構造矩形，將2PO+PM轉化為NK+PM，由NK+PM≥NK+KM，NK+KM≥MN=8，可得當點P在線段MN上時，2OP+PM的值最小，最小值為8。
解：（1）在正方形OABC中，∠FOE=∠BOA=∠COA=45°。
∵EF∥AB，∴∠FEO=∠BAO=90°�！唷螮FO=∠FOE=45°。
又E（﹣2，0），∴EF=EO=2。
（2）①畫圖，如答圖1所示。

證明：∵四邊形OABC是正方形，∴OH∥BC。
∴△OFH∽△BFG�！�。
∵EF∥AB，∴。
∴。
②證明：∵半圓與GD交于點P，∴OP=OH。
由①得：，
又EO=2，EA=OA﹣EO=6﹣2=4，
∴。
通過操作、觀察可得，4≤BG≤12。
（3）由（2）可得：，
∴2OP+PM=BG+PM。
如答圖2所示，過點M作直線MN⊥AB于點N，交GD于點K，則四邊形BNKG為矩形。

∴NK=BG。
∴2OP+PM=BG+PM=NK+PM≥NK+KM，當點P與點K重合，即當點P在直線MN上時，等號成立。
又∵NK+KM≥MN=8，當點K在線段MN上時，等號成立。
∴當點P在線段MN上時，2OP+PM的值最小，最小值為8。