Question

如圖，直線y=kx+2k（k≠0）與x軸交于點B，與雙曲線y=（m+5）x^2m+1交于點A、C，其中點A在第一象限，點C在第三象限；
求：
（1）m的值；
（2）B點的坐標；
（3）若△AOB的面積等于2，求點A的坐標；
（4）在（3）的條件下，在x軸上是否存在點P，使△AOP是等腰三角形？若存在，請寫出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據雙曲線函數的定義可以確定m的值；
（2）利用y=kx+2k當y=0時，x=-2就知道B的坐標；
（3）根據（1）知道OB=2，而S_△AOB=2，利用它們可以求出A的坐標；
（4）存在點P，使△AOP是等腰三角形．只是確定P坐標時，題目沒有說明誰是腰，是底，所以要分類討論，不要漏解．

解答：解：（1）∵y=（m+5）x^2m+1是雙曲線，
∴

2m+1=-1 m+5≠0

，
∴m=-1；

（2）∵直線y=kx+2k（k≠0）與x軸交于點B，
∴當y=0時，0=kx+2k，
∴x=-2，
∴B（-2，0）；

（3）∵B（-2，0）
∴OB=2，
過A作AD⊥x軸于點D
∵點A在雙曲線y=

4

x

上，
∴設A（a，b）
∴ab=4，AD=b，
又∵△AOB=

1

2

OB•AD=

1

2

×2b=2
∴b=2，
∴a=2，
∴A（2，2）；

（4）當AP₁⊥x軸，AP₁=OP₁，∴P₁（2，0），
當AO=AP₂，∴P₂（4，0），
當AO=OP₃，∴P₃（-2

2

，0），
當AO=OP₄，∴P₄（2

2

，0），
則P點的坐標為：P₁（2，0），P₂（4，0），P₃（-2

2

，0），P₄（2

2

，0）．

點評：此題考查了反比例函數的定義確定函數的解析式，也考查了利用函數的性質確定點的坐標，最后考查了根據圖形變換求點的坐標．