Question

如圖，AB是⊙O的直徑，過點A作⊙O的切線并在其上取一點C，連接OC交⊙O于點D，BD的延長線交AC于E，連接AD．
（1）求證：△CDE∽△CAD；
（2）若AB=2，AC=2，求AE的長．

Answer 1

（1）證明見解析
（2）

試題分析：(1)由AB是⊙O的直徑得到∠ADB=90°，則有∠B+∠BAD=90°，由AC為⊙O的切線得∠BAD+∠DAE=90°，則∠B=∠CAD，由于∠B=∠ODB，∠ODB=∠CDE，所以∠B=∠CDE，則∠CAD=∠CDE，加上∠ECD=∠DCA，則可得到△CDE∽△CAD；
（2）在Rt△AOC中，OA=1，AC=2，由勾股定理可得OC=3，則CD=OC﹣OD=2，由△CDE∽△CAD，根據相似比可計算出CE的長，從而可得AE的長
試題解析：（1）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
∵AC為⊙O的切線，
∴BA⊥AC，
∴∠BAC=90°，即∠BAD+∠DAE=90°，
∴∠B=∠CAD，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
而∠ODB=∠CDE，
∴∠B=∠CDE，
∴∠CAD=∠CDE，
而∠ECD=∠DCA，
∴△CDE∽△CAD；
（2）∵AB=2，
∴OA=1，
在Rt△AOC中，AC=2，
∴OC==3，
∴CD=OC﹣OD=3﹣1=2，
∵△CDE∽△CAD，
∴=，即=，
∴CE=．
∴AE=AC-CE=