Question

【題目】如圖，經過點A（0，6）的拋物線y= x2+bx+c與x軸相交于B（﹣2，0）、C兩點．

（1）求此拋物線的函數關系式和頂點D的坐標；
（2）求直線AC所對應的函數關系式；
（3）將（1）中求得的拋物線向左平移1個單位長度，再向上平移m（m＞0）個單位長度得到新拋物線y1 ， 若新拋物線y1的頂點P在△ABC內，求m的取值范圍；
（4）在（3）的結論下，新拋物線y1上是否存在點Q，使得△QAB是以AB為底邊的等腰三角形，請分析所有可能出現的情況，并直接寫出相對應的m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（0，﹣6）、B（﹣2，0）代入y= x2+bx+c得 ，解得 ，

所以拋物線解析式為y= x2﹣2x﹣6；

因為y= （x﹣2）2﹣8，

所以頂點D的坐標為（2，﹣8）；

（2）

解：當y=0時， x2﹣2x﹣6=0，解得x1=﹣2，x2=6，則C（6，0），

設直線AC的解析式為y=mx+n，

把A（0，﹣6），C（6，0）代入得 ，解得 ，

所以直線AC的解析式為y=x﹣6；

（3）

解：拋物線y= （x﹣2）2﹣8向左平移1個單位長度，再向上平移m（m＞0）個單位長度得到新拋物線y1的解析式為y= （x﹣1）2﹣8+m，

當x=1時，y=x﹣6=﹣5，

∵新拋物線y1的頂點P在△ABC內，

∴﹣5＜﹣8+m＜0，

∴3＜m＜8；

（4）

解：作AB的垂直平分線交x軸于E，交AB與F，如圖，

AB= =2 ，則BF= ，

∵∠BEF=∠BAO，

∴Rt△BEF∽Rt△BAO，

∴ = ，即 = ，解得BE=10，

∴E（8，0），

而F（﹣1，﹣3），

設直線EF的解析式為y=kx+b，

把E（8，0），F（﹣1，﹣3）代入得 ，解得 ，

∴直線EF的解析式為y= x﹣ ，

把方程 （x﹣1）2﹣8+m= x﹣ ，整理得3x2﹣8x+6m﹣29=0，

△=（﹣8）2﹣4×3×（6m﹣29）=﹣72m+412，

當△=0，即﹣72m+412=0，解得m= 時，拋物線y1與直線EF只有一個公共點，此時拋物線y1上存在一個點Q，使得△QAB是以AB為底邊的等腰三角形；

當△＞0，即﹣72m+412＞0，解得m＜ ，則m的范圍為3＜m＜ ，拋物線y1與直線EF有兩個公共點，此時拋物線y1上存在兩個點Q，使得△QAB是以AB為底邊的等腰三角形；

當△＜0，即﹣72m+412＜0，解得m＞ 時，則m的范圍為 ＜m＜8，拋物拋物線y1與直線EF沒有公共點，此時拋物線y1上不存在一個點Q，使得△QAB是以AB為底邊的等腰三角形．

【解析】（1）把A點和B點坐標代入y= x2+bx+c得關于b、c的方程組，然后解方程求出b、c即可得到拋物線解析式，然后把一般式配成頂點式可得頂點D的坐標；（2）先解方程 x2﹣2x﹣6=0得C（6，0），然后利用待定系數法求直線AC的解析式；（3）利用拋物線的平移規律得到新拋物線y1的解析式為y= （x﹣1）2﹣8+m，再計算出新拋物線的對稱軸與直線AC的交點坐標，從而得到﹣5＜﹣8+m＜0，然后解不等式得到m的范圍；（4）作AB的垂直平分線交x軸于E，交AB與F，如圖，證明Rt△BEF∽Rt△BAO，利用相似比計算出BE=10，則E（8，0），則利用待定系數法可確定直線EF的解析式為y= x﹣ ，然后通過判斷方程 （x﹣1）2﹣8+m= x﹣ 的根的情況確定拋物線y1與直線EF的公共點的個數，從而可判斷新拋物線y1上是否存在點Q，使得△QAB是以AB為底邊的等腰三角形，再寫出對應的m的范圍．
【考點精析】利用二次函數的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．