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【題目】已知函數f(x)=ln2(x﹣1)﹣ ﹣x+3. (Ⅰ)求函數f(x)的單調區間;
(Ⅱ)若當x≥1時,不等式(x+1)x+m≤exx+m恒成立,求實數m的取值范圍.

【答案】解:(Ⅰ)由f(x)=ln2(x﹣1)﹣ ﹣x+3, 得f′(x)= ln(x﹣1)+ ﹣1=
= (x﹣1>0),
令g(x)=2(x﹣1)ln(x﹣1)﹣x2+2x,
g′(x)=2ln(x﹣1)+2﹣2x+2=2ln(x﹣1)﹣2x+4,
再令t(x)=2ln(x﹣1)﹣2x+4,
t′(x)= ,當x∈(1,2)時,t′(x)>0,t(x)為增函數,
當x∈(2,+∞)時,t′(x)<0,t(x)為減函數,
∴t(x)max=t(2)=0,
∴g′(x)≤0,則g(x)在(1,+∞)上為減函數,
又當x→1+時,g(x)→﹣∞,
∴f′(x)<0,
則f(x)在(1,+∞)上為單調減函數;
(Ⅱ)由(x+1)x+m≤exx+m恒成立,即(x+m)ln(x+1)≤1+(x+m)lnx恒成立,
∴(x+m)ln ≤1,也即x+m ,
∴m 對x≥1恒成立.
令h(x)= ,
則h′(x)= <0(x≥1),
∴h(x)在[1,+∞)上為減函數,則h(x)≤h(1)=﹣ln2﹣1,
又當x→+∞時,h(x)→﹣∞,
∴h(x)在[1,+∞)上無最小值,
則滿足m 對x≥1恒成立的m不存在.
【解析】(Ⅰ)求出原函數的導函數,可得f′(x)= (x﹣1>0),令g(x)=2(x﹣1)ln(x﹣1)﹣x2+2x,求導可得g′(x)=2ln(x﹣1)+2﹣2x+2=2ln(x﹣1)﹣2x+4,再令t(x)=2ln(x﹣1)﹣2x+4,利用導數求得t(x)max=t(2)=0,得g′(x)≤0,則g(x)在(1,+∞)上為減函數,進一步說明f′(x)<0,得到f(x)在(1,+∞)上為單調減函數;(Ⅱ)由(x+1)x+m≤exx+m恒成立,即(x+m)ln(x+1)≤1+(x+m)lnx恒成立,分離參數m,可得m 對x≥1恒成立.令h(x)= ,由導數求其值域,可知h(x)在[1,+∞)上無最小值,則滿足m 對x≥1恒成立的m不存在.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識,掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系: 在某個區間內,(1)如果,那么函數在這個區間單調遞增;(2)如果,那么函數在這個區間單調遞減,以及對函數的最大(小)值與導數的理解,了解求函數上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數內的極值;(2)將函數的各極值與端點處的函數值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值.

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