Question

【題目】如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉α后，與△ADE構成位似圖形，我們稱與互為“旋轉位似圖形”。

（1）知識理解：兩個重合了一個頂點且邊長不相等的等邊三角形______（填“是”或“不是”）“旋轉位似圖形”；

如圖1，△ABC和△ADE互為“旋轉位似圖形”，

①若α＝26，∠B＝100，∠E＝29，則∠BAE＝______；

②若AD＝6，DE＝8，AB＝4，則BC＝______；

（2）知識運用：

如圖2，在四邊形ABCD中，∠ADC＝90，AE⊥BD于E，∠DAC＝∠DBC，求證：△ACD和△ABE互為“旋轉位似圖形”；

（3）拓展提高：

如圖3，△ABC為等腰直角三角形，點G為AC中點，點F是AB上一點，D是GF延長線上一點，點E在線段GF上，且△ABD與△AGE互為“旋轉位似圖形”，若AC＝6，AD＝2，求出DE和BD的值。

Answer 1

【答案】(1)是 ；①25；② ；（2）答案見解析；（3）DE＝2，BD＝．

【解析】（1）由“旋轉位似圖形”的定義解答即可．

（2）①由“旋轉位似圖形”的定義得到△ADE∽△ABC，從而可以得出∠C，∠BAC的度數，由旋轉的性質可知：∠EAC=α=26°，即可得到結論．

②由相似三角形對應邊成比例即可得到結論；

（2）通過證明△AOD∽△BOC，從而有△AOB∽△DOC，再由∠7＝∠8，得到△ABE∽△ACD，即可得到結論；

（3）過E作EH⊥AD于H，由△ABD∽△AGE，得到AE＝2．通過證明△AHE為等腰直角三角形和勾股定理，得到DE的長，由△ADB是Rt△得到BD的長．

（1）如圖，△ADE和△ABC是等邊三角形，∴△ADE∽△ABC，當△ADE繞點A順時針旋轉∠DAB的度數時，兩個三角形位似，∴△ADE和△ABC互為“旋轉位似圖形”．

故答案為：是．

（2）①∵△ADE∽△ABC，∴∠E=∠C=29°，∴∠BAC=180°－100°－29°=51°，由旋轉的性質可知：∠EAC=α=26°，∴∠BAE=51°－26°=25°．

故答案為：25°．

②∵△ADE∽△ABC，∴AD：DE=AB：BC，∴6：8=4：BC，解得：BC=．故答案為：．

（2）如圖，

∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，

∴△AOD∽△BOC，∴．

又∵∠5＝∠6，

∴△AOB∽△DOC，

∴∠7＝∠8，

∴△ABE∽△ACD，

∴△ACD和△ABE互為“旋轉位似圖形”；

（3）過E作EH⊥AD于H．如圖，

∵△ABD∽△AGE，

∴，∠1＝∠2．

∵AC＝6，AD＝，

∴AB＝，AG＝3，代入求得：AE＝2．

∵∠2＋∠3＝45，∠1＝∠2，

∴∠1＋∠3＝45．

∵AE＝2，∴AH＝，

∴AH＝AD，

∴DE＝AE＝2，

∴∠DEA＝∠GEA＝90，

∴∠ADB＝∠GEA＝90，

根據勾股定理，得：BD＝；

綜上所述：DE＝2，BD＝．